师：上课，起立！
生：同学们好，老师好！
师：好，请坐。
生：谢谢老师！
师：大家还记得七年级时，我们研究平面图形是从线到角。作为平面图形中的三角形，我们已经研究了与三角形有关的线段。今天，我们沿着这个思路来研究与三角形有关的角--三角形的内角。说到三角形的内角，大家想到什么？
生：三角形的内角和为180度。
师：很好，这个结论在大家脑海里根深蒂固了。那大家还记得小学时，我们是怎么发现这个结论的吗？好，你来说说。
生：在小学的时候，我们是通过量角以及拼角的方式来研究出这个结论的。
师：量角、拼角，还有补充吗？来，你说说。
生：我们还通过折角的方式来得到这个结论。
师：哦，还有折角的方式。大家会发现，这些方法都是用试验的方法验证了三角形内角和为180度，对吧？
生：对。
师：这样的方法有没有说服力呀？
生：没有。
师：非常好。如果我们想要让这个结论对所有三角形都成立，该怎么办呢？
生：证明啊！
师：太棒了！我们要通过推理论证，使之成为定理，这样就能适用于所有的三角形。既然要证明它，我们先画一个三角形。这个三角形可不可以做一个任意的呢？
生：可以。
师：非常好，请大家动手和老师一起来完成三角形的作图，就画在卡纸上。做完以后要记得干什么呢？
生：标注角。
师：标注角，非常棒。完成作图的同学请举手。好，完成了作图，我们来看，要证明它，我们的已知和求证分别是什么？给大家说说。
生：已知三角形ABC，求证角A + 角B + 角C = 180度。
师：非常好。接下来如何证明呢？大家能不能利用手中的三角形，通过小学的实验操作，来发现证明方法？好，请以小组为单位讨论并操作，一会请小组派代表上来分享操作过程，看看从实验中有什么发现和体会。完成的小组请举手。我们请一个小组来分享一下，来，就近你们小组来完成，能不能给我们讲一下你们的操作发现？
生：我们将角B与角C撕下，粘到角A的两侧，将其组成一个平角。因为平角的角度为180度，由此可以得出三角形的内角和为180度。
师：老师想问一下，为什么拼出来的就是平角呢？
生：因为它的边成为了一条直线。
师：是因为它的边成一条直线了，这是我们直观的感受，对不对？
生：对。
师：那有同学有没有发现，这里面为什么它是一个平角？好，李欣怡，你说说。
生：我认为它们所成的那个边跟BC平行，所以角B可以因为两直线平行，内错到角A旁边，然后再将角C内错到另外一边，就可以形成一个平角。
师：哦，是这样的关系。其实大家看，这里角B移上来了，这两个角相等，相等的话，这条线和这条线就平行，平行的情况下，角C也等于角C，是不是？
生：是。
师：他们的发现非常好。还有不同的方法吗？好，这个组你们来展示一下，给我们分享一下。
生：我们是先做了一条这条线的平行线，把角C撕下来，跟角A拼在一起。这样的话，角B、角A、角C就形成了一对同旁内角。因为平行线间的同旁内角相加等于180度，所以角B + 角A + 角C = 180度，由此可以得出结论，三角形的内角和等于180度。
师：哦，是这样发现的，非常好，请坐。还有其他方法吗？好，我们来总结一下，他们发现，我们要证明这个定理的时候，通过撕角把三个内角拼成了平角或同旁内角，从而得到了180度。通过刚才的探究，大家能不能想到如何来证明这个定理呢？想到的同学请举手。好，这位女生。
生：我们过点A做直线GF平行于BC。因为两直线平行，内错角相等，所以我们可以得角B = 角GAB。
师：我们来严格书写一下过程。因为GF平行于BC，所以角B = 角GAB，角C = 角FAC。又因为角GAB + 角BAC + 角FAC = 180度，所以角B + 角BAC + 角C = 180度，由此我们可得三角形的内角和为180度。非常好。那我们来看一下这个证明过程，大家觉得这里的依据是什么？
生：两直线平行，内错角相等。
师：很好。通过刚才这位同学的推理，我们就完成了这个定理的证明。老师有一个问题想问大家，为什么在这里要做平行线呢？在这里做平行线的作用是什么呢？好，你来说说看。
生：我觉得应该是做平行线用来转角。
师：用来转角，怎么转？
生：就是把角ABC利用两直线平行，内错角相等，转到角GAB，又把角ACB转到角FAC。
师：非常棒，平行线就实现了我们不能撕纸，但又能达到类似效果。完成了这个证明，我们一起来看，这其实就是毕达哥拉斯的证明方法。那么大家再想一想，还有没有其他的证明方法呢？
生：有。
师：好，请大家以小组为单位进行探究。好，我们都完成了吗？
生：完成了。
师：我们请几个小组上来分享，哪个小组先来？好，这个小组先来吧，请展示到上面，并给我们分享你们的证明方法。
生：首先我们延长BC至点D，又作CE平行于AB。因为CE平行于AB，所以我们得到了∠ECD = ∠ABC，∠BAC = ∠ACE。又因为∠ACB + ∠ACE + ∠ECD是一个平角，等于180度，所以∠ABC + ∠BAC + ∠ACB = 180度，所以我们得到了三角形的内角和为180度。
师：非常好，老师想问一下，你们是把这三个角通过平行拼成了一个平角，对吧？
生：对。
师：非常好，请坐。大家知道吗，这种方法就是古希腊数学家欧几里得的证法。好，还有其他做法吗？好，这个小组你来展示一下。
生：我们是先过A点做了与CB平行的直线AD。因为AD平行于CB，所以角C = 角1，理由是两直线平行，内错角相等。然后因为AD平行于CB，所以角1 + ∠CAB + 角B = 180度，理由也是两直线平行，同旁内角互补。然后把角1换成角C，所以角B + ∠BAC + 角C = 180度，所以我们得出三角形内角和为180度。
师：非常棒，请坐。大家知道吗，这个是法国数学家克莱罗的证法。是不是很相似？
生：是。
师：还有其他证法吗？来，这个小组来展示一下。
生：我们组在三角形内做EF平行于AB，DF平行于AC。所以得出角1 = 角2，又用内错角得出角2 = 角3。因为DF平行于AC，所以角4 = 角5。又因为EF平行于AB，所以角6 = 角7。然后组成一个平角后，角3 + 角5 + 角7 = 180度，所以角A + 角B + 角C = 180度。
师：很棒，他们组是拼成平角。上一个组拼成的是同旁内角，非常好，请坐。还有其他做法吗？来，这个组来展示一下。
生：我们先过点B作射线BD，再过点A作射线AE平行于BD，接着过点C再做一条射线CF平行于前边的两条射线。我们将∠BAC标成了角α，将∠ABC标成角β，将∠ACB标成角γ。因为BD平行于AE，我们就可以得出角3 = 角1。因为AE平行于CF，我们可以得出角2 = 角4。又因为BD平行于CF，所以∠DBC + ∠BCF = 180度。因为相等的关系，所以得出角1 + 角β + 角2 + 角γ = 180度，就可以得出角α + 角β + 角γ = 180度，就可以得出三角形的内角和为180度。
师：能用一句话总结一下你们的方法吗？
生：我们将它转化成了一个同旁内角。
师：利用什么方法？
生：我们利用了平行线，将它转化为了同旁内角。
师：总结得非常好，请坐。这个方法很类似于古希腊数学家普罗克拉斯的证法，大家看一下，他们有一点稍稍的不同，这种证法它其实是做了垂直，而我们这个小组发现的方法是直接做平行线。通过这些证法，老师想到一句数学家罗素的话：在数学中，最令我欣喜的是那些能够被证明的东西。而今天最令老师欣喜的是，大家和数学家一样完成了对三角形内角和定理的证明，并发现了这么多的方法。我们一起来看看，这么多的方法有什么共同之处呢？想想看。来，这位女生。