师：同学们，我们今天一起来学习人教版数学八年级上册13.4课题——最短路径问题的第一课时。首先，跟同学们分享一下我国唐代诗人李颀所写《古从军行》中的前两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河。”这两句诗隐含了一个有趣的数学问题：将军白天在军营训练，晚上回营帐休息，途中要带马到笔直的河边喝水。那么，将军要在河边选什么位置饮马，才能使走过的总路程最短呢？这就是经典的“将军饮马问题”，也是我们今天要学习的最短路径问题。
要解决这个问题，我们先来复习以前学过的数学知识。第一题，你认为哪一条最短呢？
生：（魏海洋）我认为线段2最短，因为两点之间线段最短。
师：好，请坐。其他同学同意吗？
生：同意。
师：第二题，哪条线段最短呢？
生：（杨子义）我认为BC最短，因为直线外一点到直线上的距离中，垂线段最短。
师：好，请坐。垂线段最短这个数学事实是正确的，对吧？我们再复述一遍：直线外一点与直线上所有点连接的线段中，垂线段最短。同学们，我们还学过比较线段长短的方法吗？
生：（张泉林）在三角形中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
师：好，请坐。同学们，这可以比较线段长短吧？你还有比较线段长短的方法吗？
生：（田光轩）在直角三角形中，斜边大于直角边。
师：好，请坐。这可不可以比较线段的长短？
生：可以。
师：如果现在有一条直线l，在直线外有一点A，请同学们想一想，该如何做出点A关于直线l的对称点？
生：作点A垂直于直线l的垂线段，然后延长一倍，这样得到的点A'就是点A关于直线l的对称点。
师：如果我们在直线l上任取一点P，连接AP、A'P，同学们会有什么样的结论？
生：AP等于A'P。
师：为什么呢？你是靠什么方法得到的？
生：轴对称的性质。
师：哦，我们刚学完的轴对称的性质，非常好。那这节课，我们就带着之前学习过的内容，一起来走进最短路径的研究。首先请同学们看问题一，已知点A、点B分别位于直线l的异侧两个点，如何在l上找到一点P，使得点P到点A和点B的距离和最短呢？
生：（黄子玉）连接AB，那么这个AB与l的交点就是点P。
师：那为什么你认为此时PA + PB的和最短？
生：因为两点之间线段最短。
师：好，请坐。同学们，他的理由大家同不同意？
生：同意。
师：那么我想说明PA + PB最短，除了用两点之间线段最短，我们也可以尝试这样解决。我们在直线l上取一个异于点P的点P'，连接AP'和BP'，同学们看，我们就构造出了一个什么图形？
生：三角形。
师：在三角形ABP'中，由三角形的……同学们可以得到AP' + BP'大于AP + BP，大于AB就是AP + BP，是不是就得到了AP + BP最短？对吧。好，我们可以把这种问题归类为“一定直线，异侧两定点问题”。下面，请同学们把这种作图方法跟老师一起整理在你的学案上，边画图边想这个画图的过程啊。首先我们连接谁呢？
生：AB两点。
师：线段AB与直线l的交点，交点就是我们要的谁？
生：点P。
师：做图题不要忘了写结论，此时PA + PB的和最小。非常好啊。那我们再来思考一下问题二，如果现在点A和点B分别是位于直线l同侧的两个顶点，我们该如何在l上找到一点P，使得点P到点A和点B的距离和最短呢？首先，我们可以把这类问题归类为什么问题？
生：一定直线同侧两定点问题。
师：好，下面请同学们先独立思考，在你的学案上画一画，看看能不能在直线l上找到点P，使得PA + PB的和最小，开始。
（学生思考画图过程）
师：好同学们，老师看到大家基本上都有了自己的作图方案，对吧？下面请同学们在小组内分享一下你是如何找到点P的位置，使得PA + PB的和最小，同时请大家在组内阐述一下你的理由是什么。讨论交流结束之后，我们请小组代表同学给我们展示汇报一下，开始。
（小组讨论过程）
师：（巡视并参与小组讨论）这里做了一个垂直平分线AB，那你这里垂直平分线的性质，可以得到什么呢？再研究研究，如果你换其他方法，再想一想，能不能用比如说测一测，或者猜一下的方法，对吧？再想一想啊。你测量之后的结果是什么？你们还有别的吗？你们再研究研究，再看一看还有什么方法。
生：AB 1.6，3.3，3.3，3.1，3.1就比这个3.5小，所以说这个好像错了。
师：行，那你们还有其他方法。你刚才说的是怎么说？
生：我刚才说的是连接AB，然后过AB的垂直平分线交直线AB于C，这时候连接AP和BP，然后用三角尺量了一下，发现这个AP + BP小于这个AP' + BP'的时候……
师：好同学们，抬头。我刚才看到各个小组都有了自己的方法，而且大家讨论得特别热烈。现在哪个小组愿意给我们展示汇报交流一下你们的学习成果？
生（4组代表）：我们组是这样认为的，首先我过点A做直线l的垂线段，垂足为点P，因为垂线段最短，所以我认为AP是最短的，然后我连接的BP，因为两点之间线段最短，所以AP + BP是最短路径。但是为了验证我这个想法，我取了异于点P的点P'，连接了AP'和BP'，经过测量后发现，我的这个想法是错误的。但是我们组还有另一种方法。
师：他过A点做了一个垂线段，找到的那个垂足是我们要的那个点P吗？
生：不是。
师：而且他们组测量了一下，发现那个时候的AP + BP不是最短的，对吧？好，我们再看看他们组的第二种方法。
生（4组代表）：我们组的第二个方法是这样的，首先我连接AB，因为两点之间线段最短，然后我过AB的中点C做AB的垂直平分线，交直线l于点P，此时的PA等于PB，所以我认为此时的PA + PB是最短的。但是为了验证这个方法，我们组取了一个异于点P的点P'，经过测量，P'A + P'B的值小于PA + PB的值，所以这个方法也是错误的。
师：刚才我看到各个组做的时候，好多同学做出了这个图形，也取了一个异于点P的点P'，虽然取在了其他位置，并且测出那个时候AP' + BP'的和好像比这个AP + BP更大。可是经过刚才这组同学展示，取在这个位置上的时候，是不是得到AP' + BP'要更小？所以说明，他做垂直平分线得到的那个点P是我们的最短路径那个点P吗？
生：不是。
师：非常好。好，表现得特别好啊，请汇报。还有哪组同学要展示？展示的同学声音可以再大点，让其他同学听得更清楚一些。
生（二组代表）：我们组的第一个做法与上一组的第一位同学很相似，我们是过点B做直线l的垂线段与点P，因为我们课前复习过，直线外一点与直线上所有点连接的线段之中，垂线段最短，然后我们连接AP，因为两点之间线段最短，此时我们认为此时的AP与BP的和是最短的。但是我们为了印证我们组的这个猜想，做一个异于点P的点P'，连接AP'、BP'，经我们的测量得出，AP'与BP'的和是要小于AP + BP的，所以你觉得这时候找到的点P是不是我们要的那个最短路径的点P？所以说我们这时找到的点P不是我们要求的最短路径。也就是说，两个定点A、B做谁的垂线段，是不是都找不到点P？
生：都不行。
师：你们还有其他方法吗？
生（二组代表）：我们组经讨论后，还有第二种方法。我们组的第二个方法是做点B关于直线l的对称点B'，连接AB'，利用轴对称的性质，我们得出了BP等于B'P，所以AP + BP等于AP + B'P，也就是AB'。又因为两点之间线段最短，所以此时AB'是最短的，也就是说AP + BP是最短的，所以我认为点P此时应该在这个位置，才能使AP + BP的和最短。但是为了验证这个猜想，我们又做了异于点P的点P'，连接AP'和BP'，经测量得出AP + BP是小于AP' + BP'。这个点P'是在点P的右侧，我们也取了点P左侧的一个异于点P的点，又分别连接了点A和点B，还是得出AP + BP是最小的。