师：上课，同学们好！
生：老师好！
师：请坐。孩子们，今天我们要来对圆进行练习。这是我带来的一个圆，你能看着它说说你知道关于它的哪些信息？周伯龙。
生：好，我知道了第一个信息。
师：还有吗？你可以说完整，没事，扶摇。
生：这么快，你能说说看周长的计算公式吗？是这样吗？等于多少？
师：计算速度很快。还有吗，何思涵？能讲完整吗？好看来，请坐，谢谢你。关于圆，我们能很快知道相关信息。那假设现在是一个半圆，同样半径是4厘米，你能快速知道吗？陈俊辰。
生：好，OK，2πd除以2，我写成1/2πd行吗？还要再加……
师：好的，嗯，你很聪明，马上就能照我的样子说得非常好，请坐。直径没有变化，假设现在是这样一个图呢，你还能快速说出关于它的周长和面积吗？刘杰出话筒呢。
生：呃，这个图形的周长是4×2，先算出它一个半圆的周长，但是它没有那一条直径，所以就不用加一个d。4×2，呃，直径就是8，8乘以3.14再除以2，就是这个圆一半的周长。然后，然后呢……再打扰一下，好像似乎会很长，但是通过他这么虔诚的眼神，我知道他应该会求，是吗？啊，是的。好，那么还有吗？周长你行，还……还有一个凹进去的和一个凸出来的，他……呃，观察发现它们两个可以拼成一个圆，所以说它们的长度都是一样的，可以算作一个圆的周长，但是它们的半径可以看到就是……他们的直径就是4厘米。来，4×3.14就是12.56，用刚才求出来半圆的那个……呃，周长加上这个就是这个图形的周长。
师：用了很长一段话描述，你们听懂了吗？哈哈，好像没有听懂。没事儿，咱不急，没关系，刘杰，等会儿可以看看你的面积行吗？王廖楚妍。
生：那么呢，它就是可以平移过去，然后它就是一个整个的半圆。
师：听明白了吗？好像面积能听懂，用割补法快速就知道它相当于半圆的面积，对吗？周长好像有点复杂，那咱们今天先研究这个图形的周长。其实在昨天的时候，我们是不是已经完成了这一题？你们现在拿到的学习单上有自己昨天做的，我们先来看老师找到的咱们班第一位同学的，谁的呢？我们请朱雅茹你来介绍一下，你是怎么求的，其他同学一边听一边静静地看。you can come。
生：首先我先4×2 = 8，这个算的是它的直径，半圆的直径。然后8×3.14÷2，首先8×3.14算的是整个圆它的周长，然后除以2呢，是因为它是一个半圆，而就是12.56。这个算式算的是……看看是指这条线对吗？然后4×3.14÷2这里有个小圆，所以我们要把小圆的算出来，然后4×3.14算的是一个小圆的……是指这一条吗？你们觉得是这条吗？然后呢除以2呢是它也是个半圆，好，意味着你的这个算式是算的是小半圆。然后下面6.28×2呢，是因为那个……你想先介绍这对吗？你们看懂这了吗？啥意思？合上这一条的是这意思吗？然后12.56就是这个大半圆的那个周长，然后加起来就是25.12，那这个圆的面积，那个这个半圆的面积，就不是这个半圆的周长，就是25.12，两条弧线合在一块。
师：他介绍的听懂了吗？杨老师在前面把它写了一下，感觉怎么样？看的清晰一些。好接下去，谢谢你朱雅茹，非常不错，求的很正确，思路也很清晰。再看一位同学的好吗？谁的？来话筒传递给他。其他同学，请你在他没介绍之前看一看，你能看懂吗？有问题吗？
生：没有问题。
师：看来我有点问题，我就问一个问题，王老师请问你能告诉我，你的这个算式求什么吗？
生：我把这两个小半圆拼成了一个圆。哎，你对着大家说，他说他把两个小半圆，看看，你是指这个意思吗？然后我们就求这个图形的面积，就先把这个小圆求出来，它们的直径是4，直径是4，求周长就用直径乘以3.14 = 12.56。我们再求这个大半圆的面积，呃，用4乘以2，等于这大半圆的直径哦，这也是直径，直径是用……不，周长是用直径乘以3.14，我们就用8乘以3.14，但这个大半圆只是一个……呃半圆，所以我们就要除以2，所以也是12.56。然后最后这个算式，12.56 + 12.56是把他们两个半……三个半圆的面积都加在一块，也是把几条圆弧加在一块了，对吗？
师：好的，谢谢你。还有没有不同的方法呢？咱们班大部分都是这样的，我还看到了这样的，一眼看上去感觉怎么样？
生：说出了我的心声，欧素焕，你能来跟大家说说看，为什么你的方法如此简单吗？能说吗？只可意会不可言传。
师：来有没有同学的方法和他是一样的？你能说的，好陈雨涵同学，请把话筒递给他。
生：所以说他就把那两个小半圆的周长当做一个大半圆的周长，然后一起算了一整个圆的周长，这儿是非整大圆的一个周长，用的是……直接算出来是这样。
师：你理解吗？
生：很理解。
师：好像也不太理解。没事儿，咱们就来看看，为什么这两种复杂的方法也能求的同时，它为什么就等于整圆的周长呢？观察这两种，你有没有发现它们之间有相同的地方？火眼金睛，开始找到相同点，举手告诉大家。郑志豪。
生：你们听懂了吗？都有什么？哎呦麻烦你带上，告诉我他求的是什么，让别人能听得更直接。
师：大半圆的周长，这是找到了，都有大半圆的周长。还有什么相同点？就这一个吗？你们看得见吗？如果那不好看，你们可以看那个大屏。还找到什么相同点？关注方法的相同。戴陶然。
生：还有吗？刘杰出，我的话筒传的人呢啊，没事再大声说，看我干嘛。
师：同意吗？谁听懂了，他找到他们解决问题方法最本质的一个。刘杰出看来你还得再说一遍。
生：呃，就是说，他们都先是求了这个大半圆的周长，然后呢，再求出两个小半圆的周长，把它们加在一起，就是等于一个图形的周长。在整个的最后，他们所用的方法，都是把这几条圆弧加在一块，是吗？也就是说，在解决这个周长的时候，他们都用了大半圆弧加小半圆弧这个方法来解决这个问题。
师：那看着这个整体的方法，你能想到我们必须求出大半圆弧该怎么求呢？oh，告诉我他的解决办法，不一定非得列出完整的算式。
生：πd除以2，也就是这个d指的是大半圆的，加上小半圆呢，也是，这个d指的是……
师：好，那你看着这样的这个d，咱们知道是多少吗？多少？相当于乘8，这个d呢，谁来告诉我，这儿几π？这儿几π？合在一块，哪个哦，这个地方的半圆的对吗？少了一个小半圆，这还得再干嘛？乘二。所以最后等于几π？
生：同意，最后的8π是不是咱们这儿的整圆。
师：所以，咱们刚才通过这样的代数式推理得出，它最后的周长就相当于一个大圆的周长。孩子们仔细看，我们这个图形，刚才知道了它等于大圆的周长，如果我把它变一变，下半部分往上翻，这个时候它的周长变了吗？
生：还等于……
师：对，我再变一遍，把这一部分往下翻，现在它的周长外面一圈变了吗？为什么呢？
生：听懂了，还是这个半圆的。
师：接着如果是这样变呢？
生：还没有。
师：我这里面的这个两个半圆的直径都变了，它怎么还没有呢？
生：我觉得可能是因为它那个两个小圆的直径加起来还是等于8，然后，它每一个大半圆的直径都是等于8，所以它的周长也不会变。
师：你们觉得呢？是这样的吗？咱们来试着像刚才这样推导着试一试。来小半圆，你在求它的时候，总的这个方法会不会发生变化？小半圆的这儿可以直接乘2吗？咱们得分开了，是这个意思吗？我把它写下来，它的阴影部分就会等于大半圆加中半圆，咱们可以这么说吗？再加小半圆，然后中半圆，咱们在解决的时候会发现，它是1/2π乘多少？嗯，1/2π乘5，这儿呢？最后合在一块，它还是几π？这儿4π，这儿合在一块，果然还是那么像。这样变除了半圆直径是4、4、5、3，它还可能怎样，它的周长还没变。想，想我想找找还没发过言的同学，除了4、4、5、3，还有2、6、1、7，啊，不是2、6、1、7，你是说了两种可能，对不对？你们觉得呢？2、6，我画一个6，画一个2，还可以，这儿画个7，这儿画个直径，可以吗？哎，一定非得是两个圆的吗？可不可以，那赶紧想想，三个圆它可以是怎样的？哎呦，我终于看到新举手的同学了，马欣彤。