师：好，上课！
生：（全体起立）老师好！
师：同学们好，请坐。4月底的时候，我们都参加了东城区一模考试，大家都取得了不错的成绩。现在，请同学们回忆一下，对于东城区的这套一模试题，大家有怎样的感受？哪位同学来谈一谈？李浩宇，你来说说。
生：我觉得这次一模试题有一定难度，但只要方法得当，还是能取得好成绩的。
师：非常好，他对当时的一模试题印象很深刻。在一模考完试，分数还没出来之前，我们做过一次考试复盘，大家还记得吧？在复盘过程中，有些同学提到这套试题有一定吸引力，难度也适中。还有同学提到了一些难点题目，像第8题、16题以及后面三道题，都是比较经典的题目，对吧？
生：嗯。
师：分数出来后，同学们有什么感受呢？是不是有些扣分点不在自己预料之中？就比如试卷的第20题，四边形的第一问。我们来看一下相关数据，这是当时考完试后同学们答题的情况。就第一问而言，咱们班级有10个同学扣分，这一情况远超其他题目。为什么同学们在自我认知中觉得第20题做得很顺利呢？复盘时，只有两位同学提到这道题不顺手，其他大部分同学都很自信，然而客观数据却反映出我们存在问题。大家想过为什么自我认知和客观数据之间会有这么大的分歧吗？
生：太熟了，有些内容跳步了。
师：有同学说太熟悉题目，所以有些步骤跳过去了。那到底是不是这个原因呢？我们带着这个问题开启今天这节课的学习。我们截取了两位同学的解答过程，请同学们打开学案，给大家3 - 5分钟时间，看看这两个解答过程的证明思路有什么错误，我们又该如何修改。大家先自己低头看看，不管有没有发现问题，都可以和周围同学交流一下。同学们先熟悉题目，再看看这两种解答过程，思考他们是怎么证明矩形的，和自己当时的证明思路是否一样。如果自己也扣分了，想想扣分原因。同桌之间可以交流交流。
（学生自主思考、交流讨论）
师：好，同学们都发现问题了，老师很高兴。先听听姚明同学说说，在这个解答过程中，你认为他是怎么证明矩形的？
生：他想先证明边相等，然后证明里面两个对角线相等，再用判定定理证明。
师：他表述得有点重复，但第一句话很好，他是想通过对角线相等的平行四边形来证明是矩形，对吧？那你在这里面发现他的问题了吗？
生：没有“平行”两个字。
师：很好，请坐。其他同学发现的问题也是这个吗？
生：是。
师：这位同学实际上是想直接用“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”来证明，但我们知道矩形的判定定理里有这条吗？
生：没有。
师：要是有同学说记不清判定定理了，那该怎么办？
生：先证平行四边形。
师：对，要是记不清判定定理的具体内容，无法精准记忆时，大家要知道，在复习过程中，如果发现有些定义和定理开始模糊了，我们要回到课本中去。来，我们看看课本上是怎么说的。（操作设备）课本中，首先是矩形的定义，大家还记得定义怎么说的吗？
生：（部分回答）有一个角是直角的平行四边形是矩形。
师：看来很多同学都忘了原文表述。原文是“有一个角是直角的平行四边形是矩形”。同学们总结一下，根据定义，要证明一个四边形是矩形，需要满足几个条件？
生：两个。一个是要证明是平行四边形，再加一个角是90度。
师：没错，这是矩形的定义。后来我们还学习了矩形的判定定理，“对角线相等的平行四边形是矩形”，这里是几个条件？
生：两个。
师：哪两个？
生：平行四边形加对角线相等。
师：我们最后学的判定定理是“有三个角是直角的四边形是矩形”，在这个判定定理里需要满足几个条件？
生：任意四边形，只要三个角是直角就可以。
师：所以证明矩形的判定定理只有3个，其他正确结论不能直接用来证明矩形。当同学们记忆出现混淆或模糊时，一定要回到课本找原文。回到这道题，刚才同学们说只要添加一个条件就可以，添加什么结论呢？
生：在AE等于AB、AF等于AD之后，添加四边形BDF是平行四边形。
师：非常好，加上这个条件，这道题就完整了，也就不会扣分了。这是第一个例子，我们再看第二个例子。程子凡，你来说说你发现了什么问题？
生：（站起来）他以为AF等于AD，然后等于AB就能证出直角，但只有在直角且AF等于AD的情况下才能往下证。
师：有同学提到，他这里是直接逆用了直角三角形斜边中线的结论，当AF等于AB等于AD时，就直接得出90度。这个结论虽然正确，但能直接用吗？
生：不能。
师：那如果想用这个结论该怎么办？
生：用三角形证明。
师：刘良，你来说说。
生：因为他知道AE等于AB，所以角ABE等于角AEB。又因为AB等于AM，所以角ABM等于角AMB。这四个角相加等于180度，因为两两相等，所以两个共同角加起来是90度。
师：请坐。他应用了等腰三角形的性质，结合三角形内角和得到这个角是90度。大多数同学是用这个方法吗？还有别的方法吗？
生：共圆。
师：罗子涵，你来说说。
生：因为AB等于AF等于AD，所以F、B、D三个点到A点这个定点的距离相等，那么F、B、D在以A点为圆心，AF为半径的圆上。又因为FD是直径，所以直径所对的圆周角是90度，这样就证明了角FBD是90度。
师：非常好，表达得很清楚。这是用共圆的方法。抛开这个问题，如果知道AF等于AB等于AD，还可以怎么证明这个角是90度？
生：背长中线。
师：对，抛开这道题本身已经补全成四边形的情况，如果在其他问题里，我们可以通过背长中线，补全成一个四边形。首先能证明这个四边形是什么四边形？
生：平行四边形。
师：依据是什么？
生：对角线互相平分。
师：然后再怎么证明它和90度有关？
生：证明它是矩形，依据是对角线相等，再根据矩形性质，它的角是90度。
师：我们有这三种方法解决这个性质的逆向应用问题。所以在证明过程中，一定要准确判断定理能否直接使用。回顾一下，以上两位同学都出现了问题，其他同学扣分原因可能也和他们一样。大家想想，为什么会出现这种问题呢？
生：基础不扎实，记不清哪些是能直接用的定理或定义。
师：说得很好，根源就在于有些同学记不清哪些定理和定义可以直接用。所以出现问题时，要回到课本精准记忆。最重要的是，在几何证明过程中，一定要做到步步有依据，这里的依据指的就是定理和定义。在二轮复习中，大家要继续检查自己对定义和定理的记忆是否精准。借助今天这个机会，我们把特殊四边形的判定方法回顾一下。我们接龙来说，先从平行四边形开始，它有几种判定方法？
生：平行四边形有五种判定方法。
师：第一位同学来说一种。
生：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
师：非常好，请坐。第二位同学接着说。
生：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。