师：同学们，大家好，很高兴能和大家一起学习。温故而知新，在前面的学习中，我们已经认识了倍数与因数，还学习了找一个非0自然数倍数的方法。今天这节课，我们将利用已有的经验，继续学习北师大版五年级上册第三单元中的“找因数”。学习前，请同学们准备好一张方格纸、直尺和笔。
大家喜欢拼图游戏吗？用12个小正方形拼成一个长方形，有哪几种拼法？请在下面的方格纸上画一画，并与同伴交流。我们来看一看老师从同学们那里收集到的三种拼法。第一种是拼成长为12个、宽为1个小正方形的长方形；第二种是拼成长为6个、宽为2个小正方形的长方形；第三种是拼成长为4个、宽为3个小正方形的长方形。你们还有不同的拼法吗？
生：我们是不是也可以这样拼呢？
生：我不赞同。你拼出的第一个长方形，长还是6个小正方形的边长之和，宽还是2个小正方形的边长之和。实际上，它和左边图形中的第二种拼法是相同的。其他两个长方形也是同样的道理，它们只是位置改变了，长和宽并没有变。
师：这位同学的表达有理有据，他从长方形位置改变但长和宽的数据不变，说明了只能有三种拼法的道理。根据已有的学习经验，你们能用乘法算式表示这些长方形的面积吗？
生：我们不难发现，可以用1×12 = 12表示长为12个、宽为1个小正方形的长方形的面积；用2×6 = 12表示长为6个、宽为2个小正方形的长方形的面积；用3×4 = 12表示长为4个、宽为3个小正方形的长方形的面积。
师：看来，乘积是12的整数乘法算式只能写出这三个。借助刚刚的活动，回忆一下因数的概念。你能找到12的全部因数吗？想一想，试一试。
生：要找12的因数，也就是想哪两个整数相乘的积是12。在用小正方形拼长方形的活动中，我们知道积是12的整数乘法算式只能写出三个，即12 = 1×12，12 = 2×6，12 = 3×4。因此，12的全部因数有1、2、3、4、6、12。
师：利用乘法计算，同学们发现拼出长方形的每一对长和宽都是12的因数，还能按照从小到大的顺序把它们进行排列，真不错。关于找因数，还有不同的方法吗？
生：我是这样想的，除法是乘法的逆运算，也可以利用除法算式找因数。12÷1 = 12，改写成乘法算式为12×1 = 12，也就是商乘除数等于被除数，商和除数都是被除数12的因数。继续写出除法算式，12÷2 = 6，12÷3 = 4，12÷4 = 3。写到这里，发现算式中的因数出现重复，不用再继续写了，去掉重复的因数。因此，12的全部因数有1、2、3、4、6、12。
师：通过逆向思考，我们知道当除得的商是整数且余数为0时，算式中的商和除数都是被除数的因数。看来，乘法计算和除法计算都能帮助我们一对一对地找到12的因数。有同学可能会问，怎样才能不重复、不遗漏地找到12的全部因数呢？
生：大家一定想到了，可以像找一个非零自然数的倍数那样，按照一定的顺序来思考。从最小的非零自然数1想起，由小到大依次写出积为12的整数乘法算式，或被除数为12的整数除法算式，一对一对地找因数。当算式中的因数出现重复时，就不用再继续写了，去掉重复的因数。因此，1、2、3、4、6和12就是12的全部因数。