师：同学们好！
生：老师好！
师：同学们，请坐。同学们学了近6年的数学，提到数学，我们常常和谁打交道？
生：我们常常和数字打交道，比如偶数、奇数、自然数、分数、小数等。
师：嗯，许多的数。好，请坐。那除了数还有谁呢？
生：我们还会和图形打交道，比如长方形、正方形、平行四边形等等。
师：嗯，请坐。也就是除了数，还有许多的图形。数和形是我们数学主要的两个研究对象，它们看似不同，却关系紧密。那么数和形之间到底有着怎样的联系呢？今天这节课，我们就一起来研究数与形的关系。那我们先从简单的数开始，这是几？
生：一。
师：快速口算，1 + 3等于多少？
生：4。
师：1 + 3 + 5呢？
生：9。
师：1 + 3 + 5 + 7呢？
生：16。
师：猜一猜，下一个算式会是什么？玛莎西。
生：1 + 3 + 5 + 7 + 9。
师：唉，你怎么知道？你起来说说，你怎么会猜到下一个算式是1 + 3 + 5 + 7 + 9。
生：左边的算式都是从一开始的连续奇数相加。
师：大家看，是不是这样？从一开始，1、3、5、7、9，的确是从一开始连续相加。那结果是多少？
生：25。
师：刚才大家根据左边这些算式，通过观察、想象，找到了它们其中所隐藏的规律。那么右边的结果是不是也有规律呢？请大家仔细看，4、9、16、25，动动脑筋，你发现这些数字有什么特点？孙绍科。
生：1是1的平方，4是2的平方，9是3的平方，16是4的平方，25是5的平方。
师：真的是耶！1是1的平方，4是2的平方，9是3的平方，16是4的平方，25是5的平方。这真是一个有价值的发现。那让我们把这些价值继续放大，当你看到这些平方数，1的平方、2的平方、3的平方、4的平方、5的平方，你会想到一个什么图形？于冰洁。
生：正方形。
师：你为什么会想到正方形呢？
生：嗯，因为正方形的面积计算公式是s = a2，也就是边长乘边长。
师：非常好。看来左边的这些加法算式，它与正方形之间一定有着内在的联系。那么这些加法算式与正方形之间到底有着怎样的联系呢？万事开头难，我们先从简单的开始。1 + 3 = 22，这是一个什么样的正方形呀？刘振飞。
生：是一个边长为2的正方形。
师：请坐。那如果我用一个正方形来表示1，我给这一个正方形再加上三个正方形，怎样才会变成一个边长为2的正方形呢？你上来试着拼一拼，第三排的女孩，你来。
生：（学生进行拼图操作）
师：好，别着急。我来问一下，你在这个图形中，1在哪里？3在哪里？22在哪里？
生：这个整体就是22。
师：非常好，请坐。那这个图形它就在告诉我们，1加上3就等于22。好，那大家再想一想，如果我给它再加上5个小正方形，它又会变成一个什么样的图形呢？谁试着上来接着拼一拼，你来，李思妍。
生：（学生继续拼图）
师：仔细观察。刚才我们在摆的时候有一个规律，就像直角一样，这样一层一层地往上摆。在这个图形中，红色表示几？
生：1。
师：黄色表示呢？
生：3。
师：蓝色表示？
生：5。
师：那如果忽略这个颜色，看整体它是多少？
生：它是32，因为它是一个边长为3的正方形。
师：对，请坐。谁来说这个图形，它在告诉我们什么呀？看着它来告诉我，这个图形又在告诉我们什么呢？宋梦凡。
生：1 + 3 + 5 = 32 。
师：1 + 3 + 5 = 32，非常好，请坐。那同学们发挥你的想象力，如果我给它再加上7个这样的图形，它会变成一个什么样的图形呢？想一想，猜一猜。梁艺熙。
生：它会变成一个边长为4的正方形。
师：是这样吗？我们来一起看一看，1 + 3 + 5 + 7，哎，它是不是变成了一个边长为4的正方形？像这样，一层一层像直角一样加了几层？
生：四层。
师：加了四层，它拼成了一个边长为4的正方形。如果我们看颜色，我们可以很容易地看到1 + 3 + 5 + 7；如果忽略颜色看整体，我们会看到一个边长为4的正方形。那么个数之和就为42。这个算式，它也在“说话”，它在说什么呢？你读懂了吗？石青梅。
生：1 + 3 + 5 + 7 = 42 。
师：好，请坐。那大家想一想，如果在它的基础之上，照着这样往上再拼9个，它就变成了一个边长为5的正方形，个数之和就是52。如果接着往上加，应该加谁了？
生：11。
师：那谁能完整地把那个算式给我说出来呢？李朝阳。
生：1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 = 72 。
师：是这样吗？
生：是。
师：请坐。同学们请看，42、52、62、72，这些平方数与什么有关系呢？看着图，再看着数，好好想想。于冰洁。
生：这些平方都与数字的个数有关系。
师：与数字的个数有关系。你举个例子。
生：比如1 + 3，它有两个数字，结果就是22 。比如1 + 3 + 5 = 32，它有三个数字，所以就是32 。
师：大家同意这个观点吗？请坐。我们从这边找一个大一点的来看。比如说1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11，几个连续的奇数？
生：6个。
师：和就是62 。看来这真是一个伟大的发现。那你能试着用一句话来总结一下你刚才所发现的这个规律吗？王长熙，你试着说一下。
生：嗯，几个从一开始的连续奇数相加，有几个这样的加数，和就是几的平方。
师：嗯，我明白了。谁还想再说，把这个规律用你的语言总结一下。孙少科。
生：从一开始，有几个连续的奇数，它们相加的和就是几的平方。
师：同意吗？
生：同意。
师：把掌声送给这两位同学。通过刚才我们把数转化成图，我们从这个图形中就可以很清楚地发现，从一开始的连续奇数相加，和就等于加数个数的平方。这个规律中，什么地方你觉得比较重要？李玉彤。
生：从一开始、连续奇数、加数个数。
师：嗯，好，请坐。那如果从一开始加3 + 5加7，一直按照这样的规律往后加了n个连续奇数，那么它们的和就应该是n2 。我们通过化形为数、化数为形，发现了一个这样有趣的规律。那你能运用这个规律解决下面的问题吗？看第一个。
生：1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 = 82 。
师：你怎样想的？
生：因为它是从一开始的连续奇数相加，总共有8个加数，所以它就是82 。
师：有理有据，坐下。第二个，结果等于92 。以心语。
生：这个算式应该是1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17。
师：你是怎样想的？
生：因为它的结果是92，就说明有9个这样的加数，就是从一开始有9个连续的奇数。
师：非常好，请坐。那这个题有点难度了，1 + 3 + 5 + 7 + 5 + 3 + 1，你用什么办法来解决它呢？张子涵，你说。
生：把这个算式分成两个部分，前四个数为一个部分，后三个数为一个部分。前四个数的和就是42，也就是16，后三个数的和是32，也就是9，16 + 9就等于25。
师：非常好，请坐。再想想有没有不同的想法，和他有没有不同的做法？李思妍你说。
生：嗯，我觉得我可以把后三个数相加，5 + 3 + 1 = 9，这样看就是从一开始连续5个奇数相加的和，也就是52，也就是25。