师：同学们好！
生：老师好！
师：同学们请坐。欢迎大家来到今天的数学课堂。首先，请看一段视频。公元前1000年左右，商高与周公对答时说：“勾三，股四，弦五。”这里的“勾”指小腿，“股”指大腿，这是古人从自身身体特征出发，引申出直角三角形中的两条直角边。如果一边长度是3，另一边是4，那么斜边长度就是5。商高从身体特征发现直角三角形两条直角边为3、4时，斜边为5。数学家往往有着不一样的眼光，更善于从平凡事物中发现真理。
大约500年后，古希腊著名数学家毕达哥拉斯到朋友家做客，在地砖图案中也发现了直角三角形三边的某种关系。这个关系到底是什么呢？大家想知道吗？
生：想！
师：在此之前，我们先简要回顾一下三角形的学习历程。对于三角形来说，它有两个组成元素，分别是边和角。那么对于一般的三角形，它的边和角各具有怎样的关系呢？谁能告诉我？来，请起立。
生：三角形的三个角的和是180度，三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
师：大家同意吗？
生：同意！
师：非常好，请坐。那么，我们还学习过哪些特殊的三角形呢？
生：我们学过等腰直角三角形，还有含30度角的直角三角形。
师：那么能不能再简单一点把它分类呢？我们可以怎么特殊化一个三角形？可以把它的哪个元素特殊化？
生：可以把它的角特殊化，还可以把它的边特殊化。
师：边特殊化的话，我们着重学习了哪一种三角形呢？
生：等腰三角形。
师：那么这样的特殊三角形有什么特殊性质呢？
生：等腰三角形两条边相等，两个底角也相等。
师：非常好，请坐。那么在等腰三角形之后，我们还能不能进一步将它特殊化呢？
生：等腰三角形可以变为等边三角形。
师：进一步特殊化变成等边三角形后，它的边和角各有怎样的关系？
生：三边相等，每个角都60度。
师：很好。刚才张一辰已经提到了，还有什么特殊化的三角形呢？角特殊化的，是什么三角形呢？
生：直角三角形。
师：对于直角三角形，我们知道它的边和角各有什么样的关系吗？大家可以自由说一说。
生：我们知道直角三角形的两个锐角互余。
师：很好。那么，我们知道直角三角形边的关系吗？
（部分学生表现出困惑）
师：关于直角三角形的三边关系，就是我们这节课要研究的内容——勾股定理。请坐。现在让我们看看毕达哥拉斯当时看过的地砖，想一想图中正方形A、B、C它们三者的面积有怎样的关系？谁能回答？
生：A的面积加上B的面积等于C的面积。
师：也可以写成(S_A + S_B = S_C)。那你是怎么发现的呢？
生：因为图上的每一个小直角三角形都是全等的，A和B所含的直角三角形一共有4个，C所含的直角三角形也是4个，所以它们的面积相等。
师：这里很简单，我们可以通过数来发现它们之间的面积关系。非常好，请坐。那么它们面积具有这样的关系，让我们进一步思考，由正方形A、B、C围成的等腰直角三角形的三边有怎样的关系呢？这里为了方便表述，我们不妨把直角三角形的三边分别设为a、b、c。接下来，谁能回答？
生：三边关系是(a^2 + b^2 = c^2)。
师：哇，这么快就得到结论。我们中间有没有一个什么样的过程呢？刚才这个面积和a、b、c可以有怎样的关系吗？
生：我们知道正方形A的面积等于(a^2)，B的面积等于(b^2)，C的面积等于(c^2)，又因为A的面积加B的面积等于C的面积，所以(a^2 + b^2 = c^2)。
师：那么用文字来描述就是，你发现了等腰直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。非常好，请坐。这里我们不难发现，可以把正方形的面积转化成直角三角形边长的平方，反过来，也可以把边长的平方转化成正方形的面积。那么这样的三边关系，对于其他一般直角三角形是否也成立呢？接下来，我们一起来研究一下。请大家在学案方格纸上任意画出一个格点直角三角形，并用适当的方法探究它们三边的关系。现在开始活动，如果感觉有困难，可以和组员交流一下。好，我们请张嘉豪来说一下，你如何解决这个问题？
生：受刚才毕达哥拉斯看地砖图案的启发，我们可以先画出任意一个直角三角形，然后分别以它的三条边为边长做出正方形，试着计算以直角边为边长的正方形面积的和与以斜边为边长的正方形的面积，来观察它们的边是否有两直角边平方和等于斜边平方的关系。
师：大家听明白他的表述了吗？掌声送给他。现在他用了前面类比的方法，给了我们格点直角三角形，类比前面补出3个正方形，借助三个正方形的面积来研究直角三角形三边的关系。那你有没有新的困难呢？
生：在求以斜边为边长的大正方形的面积时，不容易算出这个大正方形的面积。
师：也就是说，除了这两个正方形的面积之外，第三个以斜边为边长的正方形的面积不是很直接能计算出来，对吧？非常好，请坐。那么，谁能来解决这个面积的计算问题呢？
生：我们把外边补出来一个大正方形，那么这个小正方形里面的正方形的面积就可以通过边长乘边长，再减去四个三角形的面积得到。
师：大家同意吗？
生：同意！
师：还有其他想法吗？
生：我补充一下，还可以给它分割一下。我们可以先算一个小直角三角形的面积，看出这四个直角三角形是全等的，所以乘以4，然后再加上中间2×2的小正方形面积，就可以求出它的面积。
师：大家听明白了吗？
生：明白了！
师：掌声鼓励。刚才有同学说到计算这个大正方形面积的方法称为割补法。通过同学们的展示，我们领略到割补法可以把倾斜放置的正方形化斜为直，将未知转化成已知，把复杂问题简单化。好，接下来请同学们用刚才的方法完成计算，进一步观察你画出来的直角三角形三边到底有怎样的关系。这个时候，请小组长抓紧时间收集一下数据，快速完成。
（小组活动后）
师：哪一组完成了统计？我们看一下子航的数据。好，现在我们转过来看黑板。第三小组的数据得到了这个结论，请组长来解释一下。通过这些数据的结论，你能有什么发现呢？你们组的发现是什么？
生：我们组发现对于直角三角形来说，它两个直角边的平方和等于斜边的平方。
师：其他组同意他的结论吗？
生：同意！
师：研究进行到这里，由等腰直角三角形到格点直角三角形，我们都得到了它们三边之间这样一个特殊的关系。那么格点直角三角形是一般的还是特殊的呢？