师：好，上课。
生：老师好。
师：同学们好，请坐。同学们，前面我们研究了一般的三角形。三角形主要研究角和边两个要素，角有什么性质呢？三角形的内角和是180度。那么边呢？有三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。这节课我们就来研究特殊的三角形，特殊的三角形有等腰三角形和直角三角形。等腰三角形除了这些性质以外，还有什么特殊性质呢？从角来说，等腰三角形两底角相等；从边来说，两边相等。如果说边角之间的关系，就是等腰三角形等边对等角，等角对等边。对于直角三角形，我们前面学习了它哪些特殊性质呢？直角三角形的两锐角互余，这是它角的性质。除此之外，是不是还可以研究它的边，以及角和边之间的关系呢？这节课我们就一起来研究直角三角形边的等量关系，从特殊的直角三角形——等腰直角三角形开始研究。老师这里给出了用一些全等的等腰直角三角形铺成的地砖，同学们看看能不能从中发现等腰直角三角形的三边长有什么特殊的等量关系。接下来，请同学们用手上的学案，动手画一下，看看能不能有所发现。看似简单的问题，却蕴含着丰富的数学道理。哪位同学来说一下，从这个地砖当中你有什么发现？谁来？李乐斌你来，可以上来给大家讲。
生：我发现在这个等腰直角三角形中，我们分别以它的三边为边长构造三个正方形。可以看到，上面的两个小正方形一共有四个这样的等腰直角三角形，下面的这个大正方形也有四个这样的等腰直角三角形。所以我推断，上面这两个正方形的面积之和等于下面的这一个大正方形的面积。
师：听明白了吗？非常好。李乐斌能够用数学的眼光来看问题。其实早在2500年前，数学家毕达哥拉斯就有跟他同样的发现。我们再来分析一下图中的这三个正方形，它们的面积有什么等量关系呢？刚才通过分析，正方形A和正方形B可以看作是由四个等腰直角三角形组成，正方形C也由4个等腰直角三角形组成。因此有结论：A的面积加上B的面积等于C的面积。我们看到这三个正方形围成了中间一个等腰直角三角形，正方形的面积就是边长的平方。如果用a和b标记这个等腰直角三角形的两条直角边，斜边长为c的话，那么由这个式子又可以转化为等腰直角三角形三边长怎样的等量关系呢？a的平方加上b的平方等于c的平方，对吧？探究到这里，同学们想问什么？
生：一般的直角三角形会不会也有同样的三边长等量关系成立呢？
师：对呀。为了研究一般的直角三角形三边长的等量关系，我们通过什么来研究啊？通过以这三边为边长做正方形面积的等量关系来研究。为了更好地度量它的面积，老师这里给出网格纸，每一个小正方形的边长都是一。接下来，我们在网格当中取一个直角三角形，它的直角边长是3和4，下一步要做什么？
生：做正方形。
师：对，我们分别以这三边为边长，分别向外做正方形。那接下来我们就要干嘛？
生：求面积。
师：图中这三个正方形的面积分别是多少呢？其中哪两个面积最好求？
生：正方形A和B的面积最好求，是9和16。
师：很好。那么正方形C的面积呢？我们好像很难直接观察得到，因为它是倾斜放置的，它的边长并没有落在网格线上。我们如何求这个正方形C的面积呢？谁来说一下？赖俊宇你来。
生：我们可以利用切割的方法，把它分割成一般的三角形来计算面积。
师：怎么分割呢？你能不能上来给大家比划一下。
生：（上台比划）我们可以过点沿线做分割线，然后得出的图形就是这样。
师：大家看明白了吗？这样分割，使得割出来的直角三角形的边长都落在网格线上。那么看看，如果这样的分割方法，求得它的面积应该等于多少？来我们列式计算一下，应该等于一个直角三角形的面积是1/2×3×4，有四个，再加上中间还有一个小正方形1的平方，计算得结果是25。由此，我们用割形的方法可以算出面积是25。那么除了这种方法，还有没有其他方法呢？
生：我们也可以把这个正方形进行填补，补充成这样一个大正方形。
师：那它的面积应该等于多少？怎么求？
生：可以看作是大正方形的面积是7的平方，减去四个4×1/2×3×4，还是等于25。
师：由此我们计算得到这三个正方形的面积的等量关系应该是9 + 16 = 25。那么其他的直角三角形会不会也总有这样的规律呢？我们可以怎么做？
生：再多画几组直角三角形。
师：对，那么请同学们接下来在网格纸上面再多画几组直角三角形进行探究，看看是不是也有同样的规律。画完之后，我们想一下，你的结论是什么？我们来看一下这个同学画的，他画出的是一个直角边长为2和5的直角三角形，对吧？我们来看一下，他求出来正方形A的面积是4，B的面积是25，那他用什么方法来求C的面积呢？
生：割补法。
师：求出来是多少？
生：29。
师：因此结论是4 + 25 = 29，有同样的结论。再看这个直角三角形呢，他画的是一个直角边长是1和3的直角三角形，那么求出来A的面积是9，B的面积是1。他这里用了两种方法，这边他用的是补形的方法，求出来面积是10，所以仍然有9 + 1 = 10。我们又得到一个有同样结论的直角三角形。那么通过同学们的多组面积的计算，大家都得到什么样的结论？
生：都有A的面积加上B的面积等于C的面积。
师：我们知道正方形的面积又是边长的平方，所以由这个面积的等量关系，我们可以得到这三边长怎样的等量关系？
生：a的平方加上b的平方等于c的平方。
师：探究到这里，我们是不是就可以对直角三角形的三边长等量关系提出一个合理的猜想了呢？我们可以猜想什么？首先我们提出这个猜想的命题条件应该是什么呢？
生：直角三角形。
师：所以应该是如果直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么它的结论猜想是a的平方加b的平方等于c的平方。提出这个命题之后，我们就要对这个命题进行证明。我们首先来分析一下，这个命题的条件是已知直角三角形的两条直角边长是a、b，斜边长为c，那么这个命题的结论是要求证a的平方加上b的平方等于c的平方。同学们想一下，我们要求证这样一个式子，其实就是要证明什么呢？
生：边长的平方就是正方形的面积，所以要求证这个代数式就是要证明以a为边长和以b为边长的两个正方形的面积之和，等于以c为边长的正方形的面积。
师：很好。那么我们又如何证明这两个正方形的面积之和等于最大的这个正方形的面积呢？我们不妨把这两个正方形放到一起，来证明这两个正方形的面积之和等于最大的正方形的面积。因此第一步我们先把这两个正方形并线摆放。我们把这两个正方形放到一起，使得它的边长在同一条直线上，我们标上字母，那么它的一条边长是b，一条边长是a，其中b大于a，那么同学们能不能告诉老师，它的底边长c'是多少呢？
生：a + b。
师：很好，这两个正方形连在一起，这一整个图形的面积就是多少？
生：a的平方加上b的平方。
师：现在我们就要思考如何把这个图形变换成以c为边长的正方形呢？我们就要考虑在这个图形当中构造出最大的正方形的边长c。那么如何构造呢？我们来看，由于在这个图中已经有一条长直角边b也有一个直角，因此我们只要在这条边上面截取边长a，我们取点B，使得BC等于边长a，那么这时候我们连接AB，AB就是多少？