师：同学们，今天我们来学习3.1圆。圆是一类几何图形，那在初中阶段，我们还学过哪些几何图形呢？好，你来说。
生：三角形。
师：三角形，还有吗？好，你来说。
生：菱形。
师：菱形，很好，你来说。
生：矩形、正方形。
师：非常好，矩形、正方形。来，你来说。
生：平行四边形。
师：平行四边形。好的，对于这些多边形，我们研究它的定义、性质，以及有关线段等等。那么在圆这一章，我们也将从这些方面展开研究。现在，请大家在学习单上画一个半径为两厘米的圆。好，刚才大家都是用什么工具来画圆的？
生：圆规。
师：现在请大家想一想，怎样在操场上画一个半径为3米的圆呢？好，你来说。
生：嗯，先在操场上固定一个点，再拉一根3米的绳子，绕一圈。
师：非常好，请坐。那么老师这里用一根细纸条代替刚才同学所说的绳子，谁能到黑板上来演示一下？好，你来。
（学生上台演示）
师：好，非常好。那么在数学当中，我们这根细纸条可以抽象成什么几何图形呢？
生：线。
师：线段，我们称它为线段OP。那么刚才这个圆是如何形成的呢？请同学来描述一下。好，我请后面这位同学来描述一下。
生：呃，我觉得可以形容成线段OP绕它的一端端点O，呃，旋转360度后形成的一个图形。
师：非常好，请坐。老师把他说的话总结一下，也就是线段OP绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点P所经过的什么曲线啊？
生：封闭曲线。
师：封闭曲线。刚才我们画圆的过程都是在黑板所在的平面内进行的，所以老师这里应该再加什么前提？
生：在平面内。
师：非常好。那么像这样的封闭曲线就叫做圆。好，这就是圆的定义，我们记作圆O，读作圆O，这个O指的是圆的圆心。我们现在观察一下刚才同学们所画的圆，这些圆可以重合吗？
生：可以。
师：可以。那么什么情况下两个圆可以重合呢？
生：半径相等。
师：因此，我们就把半径相等的圆称为等圆。那么如果半径不相等，但圆心相等的圆呢？
生：同心圆。
师：同心圆。也就是说，圆心确定了圆的什么？
生：位置。
师：半径确定了圆的什么？
生：大小。
师：非常好。我们再回到概念，同学们想一想，我们所说的圆是指圆周这条线，还是指这个圆面呢？好，你来回答。
生：呃，我认为应该是指这条线。
师：为什么？
生：呃，因为定义上说是所经过的封闭曲线叫做圆。
师：非常好，请坐。那么既然圆是指这条封闭曲线，那么圆就是由点组成的，圆上的每一个点有什么共同的特征？
生：到圆心的距离相等。
师：并且都等于什么呢？
生：半径。
师：都等于半径。好，那么反过来，到圆心的距离等于半径的点，都在这个圆上吗？你觉得呢？
生：我觉得不是都在，应该是在同一平面内，到圆心距离相等的点都在圆上。
师：非常好，请坐。他讲的对不对？
生：对。
师：同一平面内，到圆心距离相等的点都在圆上。那么现在老师连接圆上任意的两个点，所得到的这条线段，我们称它为弦。请问大家圆上有几条弦？
生：5条。
师：最长的弦是什么？
生：直径。
师：所以我们把弦分成直径和非直径。直径，我们画出它的直径，就用PA来表示，还有一条非直径的弦就是PQ。现在，我们研究了圆上两点间的线段部分，大家觉得接下去我们还会研究圆上两点间的什么部分？
生：曲线部分。
师：圆上两点间的曲线部分称作弧。比如说这条直径把圆分成了几段弧？
生：两段。
师：两段，我们称这两段弧都为半圆。同学们知道半圆可以用怎样的符号来表示吗？你觉得，来你来说。
生：我认为可以用二分之πd来表示。
师：嗯，好，请坐。可以用1/2πd来表示，大家都这样认为吗？来，你来说。
生：老师，我觉得这样不对。
师：为什么？
生：因为如果用1/2πd来表示的话，也有可能表示的是一根长为1/2πd的线段，这样就不是一个半圆了。
师：好的，那你觉得可以怎样来表示呢？
生：我觉得可以用，嗯，就是弧AP，就是在AP上用一个弧的标志。
师：哦，这样，好的，就可以表示这样半圆了。好的，请坐。大家都认同吗？哎，你来说。
生：我不认同。
师：为什么？
生：因为AP把这个圆分成了两条弧，弧AP可以表示上面的一段弧，也可以表示下面的一段。
师：哦，很好，那你有什么办法可以区分它们呢？
生：嗯，在圆上再任意找一个点，比如说上面这里，点Q，所以上面的这段弧可以称作弧AQP。
师：很好，那下面这段还可以怎么表示呢？来，继续你来说。
生：嗯，再在这个下面一段弧上任意找一个点，任意找个点，这是弧ABP。
师：好的，请坐。这位同学说的非常好。那么我们再来看，这条非直径的弦也把圆分成了两部分，像这一段比半圆大的弧，我们称它为优弧，那么这段比半圆小的弧，我们称它为什么呢？
生：劣弧。
师：参照半圆的表示方法，请你来说一说，你觉得优弧应该怎样来表示？来，你来试一试。
生：呃，我觉得优弧可以用弧QAP来表示。
师：哦，一段弧线，然后QAP来表示，对，很好，请坐。这样对吗？可以。那这段劣弧可以怎样来表示呢？好，你来说。
生：嗯，在这段弧上找一个点C，嗯，然后这段弧可以命名为弧QCP。
师：非常好，请坐。这样可以吗？好，可以。那么特殊的，我们在表示劣弧的时候，可以省略掉中间的一个点，直接用两个端点来表示，好，读作弧QP，可以这样来表示。学习了圆的定义和有关概念之后，我们通过几个小练习一起来巩固一下。请大家先看第一题判断，好，请一位同学来回答。好，你来回答。
生：我觉得是对的，因为直径相同就说明它们的半径相同，半径相同的圆是等圆。
师：非常好，请坐。第二个，好，你来说。
生：等圆半径相等，但圆心不需要相同啊，它不需要一定要在同一个位置。
师：非常好，请坐。等圆只需要半径相等，位置可以不相同。好，你来说。
生：呃，如果这条，呃，直，任意两点取的是连成一条线，是是直径的话，那么就会形成两个半圆。
师：很好，请坐。直径将圆分成的是两个半圆，而不是优弧和劣弧。第四个，好，第三题，这位同学来说。
生：呃，我认为是错的，嗯，呃，因为如果这两点的话是在这个，呃，就是两点连成的线是直径的话，那么就会形成两个半圆，就不是一条优弧，一条劣弧。
师：非常好，请坐。好，你来说。
生：我要给刚才第三题补充一下，嗯，因为我觉得话在，我觉得在圆内任意两点的话，它可以是不在圆上的两点，而如果不在圆上的两点的话，它就构成不了一条弦了，也就分不，呃，分不了它是优弧还是劣弧。
师：非常好，请坐。好，只有圆上的两个点，才有可能分成劣弧和优弧，说的很好。第四题，直径和半径都是弦，这句话对吗？来，你来说。
生：嗯，是错的。
师：为什么？
生：半径它是连接圆心和圆上任意一点的线段，嗯，它并不是连接圆上任意两点线段，所以是错的。
师：非常好，请坐。也就是连接圆上任意两点之间的线段才叫做弦。接下去二三两题，请大家在学习单上先做一做。好，请大家来看黑板上刚才两位同学写的第一题，弦AB所对的是弧APB和弧ADB，弦CD所对的是弧CD和弧CBD，他做的对吗？