师：上课！
生：老师您好！
师：同学们好，请坐。
生：谢谢老师！
师：同学们，今天我们来上一堂有意思的数学课。当遇到复杂的数学问题时，你们会怎么做？
生：分成一步一步做，这样会简单一些。
师：也就是说，把复杂的问题变简单了再来思考，是吗？好，你说。
生：我觉得可以用之前在课本上学过的知识去套这个题，就是学会用旧知识来解决新知识里的问题。
师：是吗？还有别的方法吗？好，你来。
生：可以用一些数学思维方法，比如枚举法、倒推法。
师：哦，用数学中的一些方法来解决，很棒！还有没有寻求帮助的？好，刚刚第一位同学其实就提到了我国著名数学家华罗庚先生所讲的：“善于退，足够的退，退到最原始而不失重要性的地方，是学好数学的一个诀窍。” 这是在教导我们什么呢？他是说，当遇到复杂的数学问题时，我们可以在不改变问题基本性质的前提下，把它回到原始最简单的状态，其实也就是把复杂的问题简单化。这在数学中是一种重要的化难为易思想。今天我们就要运用这个策略，从数学角度玩一个数学游戏。在玩之前，我们得先知道什么？一起来说。
（下面一起来看一段视频动画，了解游戏规则和玩法）
师：壮壮，我们来玩一个点子连线的游戏吧。
壮壮：好啊，卡片上有20个点子，每两个点连一条线段，总共可以连成多少条线段呢？如果是你，你会怎么连？
生：先把一个点能连的所有点都连起来，然后再把另一个点能连的所有点都连起来，一直这样重复，直到所有都连起来。
师：你们听明白了吗？
生：听明白了。
师：他是有序地连，还有别的方法吗？都是这样想的？好，那壮壮和思思又是怎么连的呢？从他们的连法中，你们又能获得哪些启发？我们接着看这段视频。
壮壮：小菜一碟，两个两个点，边点边数就行了。我来吧，1条、2条、3条、4条、5条……啊，怎么办，点子数太多了，我看不清哪些点子连了，哪些没连。
思思：壮壮这样连太乱了，要有序有方法地连。点子数多就从最简单的开始，我从最右边连起，找到相邻的两个点连线，这时两个点连出了一条线段。再找到相邻的第三个点，分别与前两个点连线，这两条线段是新增的，现在是三个点子连出了三条线段。照这样依次连下去，很快就可以知道20个点的线段总条数了。
壮壮：哇，思思你好棒哦，我明白该怎么做了。谁先得出准确结果，谁就获胜，我们再来比一次吧。
师：对规则还有疑问吗？
生：没有。
师：那从刚才那个视频中，你们获得了哪些启发？你说。
生：不要不按顺序连，要按一定的顺序……呃，不知道。
师：具体如果接下来要你连，你会怎么连？
生：具体就连一个、两个、三个这样去连，然后把表填上。
师：先从几个点开始连？
生：从两个开始，3个，3个点连完4个，这样依次连下去，然后边连边填表格，找到规律。
师：是这个意思吗？嗯，现在你们知道怎么连了吗？
生：知道了。
师：好，那下面请你们拿出点子图，开始限时6分钟，获胜有奖，我会选前三名，冠亚季军都有奖品。如果连完得出结果了，就举手，是小组合作。（巡视）我看你们都是自己连自己的。
（时间到）
师：刚才巡视的时候，看到很多同学都算出结果了，非常棒。冠军组在这里，亚军组在这里，季军组在这里。好，请冠军组的同学上来给我们分享，坐在下面的同学请仔细听，他们的想法和你们的一样吗？他们发现的，你们在探究的时候发现了没有？好，等一下。好，你一个一个说，对着大家说，我来板书，可以吗？
生：首先，我们要用找规律的方法，所以先从规则规定的最少的点数开始，也就是两个点。两个点之间可以连一条线，所以点数是2，新增的条数是1，总条数就是1。这个时候到了三个点，那么我们就需要对原来的两个点进行连线，这个时候增加了两条线，总条数就应该是3，也就是1 + 2 = 3。继续到4个点的时候，新增的这个点要跟原来的3个点进行连线，也就是增加了3条，所以4个点的时候新增条数为3，总条数就应该是3 + 3 = 6。这个时候我们其实已经找到规律了，但是为了方便，我们可以再连一个，也就是第五个点。第五个点要跟原来的4个点连接，这个时候就会新增4条线，所以总条数就是4 + 6 = 10。然后我们观察一下，新增条数跟点数有什么关系。通过前面的可以看到，点数是2的时候新增条数是1，点数是3的时候新增条数是2，点数是4的时候新增条数是3。所以我们可以得出，比如说4个点的时候，总条数应该是1 + 2 + 3，也就是6条。也就是说，应该要最开始的一条加上1 + 2，所以6就是1 + 2 + 3得出来的，10就是1 + 2 + 3 + 4得出来的。所以这个时候我们就能够发现，当我们把每一个右边算式的加数最大值，比如说10 = 1 + 2 + 3 + 4中的4，也就是最新的新增条数，就应该等于点子数减1。继续，这个时候我们已经知道规律了，那么20个点新增条数是多少？新增条数就应该是20 - 1 = 19，所以总条数就应该是1 + 2 + 3 + 4一直加到19，最后得出来的是190。这就是我们整体的思路。
师：太精彩了，好，下去，奖品拿下去。刚刚那组同学分享的时候，我听到他说得出一组关系式，新增条数等于点子数减一，是吗？那你们想一想，为什么新增条数比点子数要少一呢？你们在连的时候有没有找到这个原因？好，下面李老师这里有个法宝，可以直观形象地帮你们找到原因。我们来看，现在是两个点连了一条线段，下面李老师加一个点，然后再连线，你发现了什么？你说。
生：我发现每加一个点，就是和原先的两个点做连接，所以……每加一个点，都是和原来的那么x个点做连接。
师：我听明白了，但好像表述不太标准，你来说一说。
生：因为新增的那个点不能连自己，只能连之前没连过的那几个点，所以之前没连过这两个点，所以就连了，总是会比点数少一。
师：是这样的吧？好，这里明白了。那我们接着再往下加点，再来看看你能发现什么。（加点）这个6怎么来的？