师：上课。
生：老师您好！
师：好朋友们，在说到三角形的面积之前，我们已经学了哪个图形的面积啊？
生：（纷纷回答）长方形的面积和正方形的面积。
师：好，那我们就以长方形的面积为例，长方形的面积怎么算呢？好，我请一位同学。来，那边余加行（音），是这么读吗？余加行，你说说看。
生：用长乘宽。
师：好，我把它记一下。长方形的面积等于长乘宽。那么还有同学记得为什么是长乘宽吗？来，话筒借一下，前面这位同学。
生：我觉得是因为长方形可以把它画成一小个一小个的正方形，把它的边长看作1，然后有几个小正方形，它的边长就有几个1，就用长乘宽，就是长方形的面积。
师：他说的意思其实是长这里有几个小正方形，对不对？宽这里有这样的几行，对不对？是这个意思吧。这是我们三年级时候学过的。那同学们，其实长方形的面积计算方法历史悠久，至少在2000多年前，我国古代有一本书叫做《九章算术》，它里面就记载了“广纵步数相乘得积步”。有同学能理解这句话吗？好，马大为来，你说。
生：我简单翻译一下这句话，广纵好像有可能就是长和宽，然后步数也就是它们的长度，相乘就得到面积。
师：你这已经不是简单翻译了，你是精准翻译，就是这个意思。朋友们给他鼓鼓掌。非常好啊。你看，在古代的时候不叫长和宽，把这个方向上叫做广，这个方向上叫做纵。现在我们为了讨论方便，统一把水平方向的这条边叫做长，竖直方向的这条边叫做宽。当然你也可以说广和纵，好不好？
生：好。
师：那么同学们，今天我们要研究的是三角形的面积。但是老师去看了一下书，我们这一单元第一课并不是三角形的面积，而是平行四边形的面积。我们不学平行四边形面积，直接来学三角形的面积，你觉得可以吗？来，王俊逸，你说说看。
生：我觉得可以，因为平行四边形的面积，它有四条边，和正方形、长方形的面积计算方式有相似之处，所以我觉得可以先学三角形的面积。
师：哦，可以跳过它，是不是？还有想说的吗？来，吴俊凯，话筒传一下。
生：我认为不可以，因为如果三角形拼成了一个平行四边形，那么你要怎么计算呢？
师：哦，他说可以跳过平行四边形，这位同学说三角形是可以拼成平行四边形的，但好像拼不成长方形，是不是这意思啊？你再说一遍，用话筒。
生：也可以拼成长方形或正方形，但不过几率很小。
师：几率很小，这话什么意思啊？后面同学杨天泽，你说说看。
生：只有直角三角形能拼成，而且还是那种长一点的，不是短一点的。只有直角三角形才有可能拼成长方形。
师：这是你的想法。还有想法吗？你说。
生：我觉得不可以跳过，因为平行四边形里面都有三角形，之前学过一课，就是专门学用三角形来拼那种……我们好像没学过吧，你哪里学的？
生：之前课本上有，但是我们没有正式学。
师：哦，你自己看过了是吧。好的。其实呢，是完全可以的。三角形我们都知道有底和高，同样在《九章算术》里面，后来有一位数学家叫做刘徽，他在给《九章算术》注释的时候说到“以盈补虚，以直田为正”。这位翻译家又要给我们翻译了，来，还是请你吧。
生：大概的意思就是把它从高那切开，然后用另外一边的三角形进行旋转，然后拼到这，补成一个长方形。
师：同学们听到了吗？他说最后变成什么？
生：长方形。
师：这里哪个词就是长方形的意思？大家一起说。
生：直田。
师：对，直田就是长方形。一定是可以变成长方形的，而且这位同学还给我们提供了大致的思路。但是方法可不止这一种哦。我们来挑战一下。好，现在每个桌上有一个信封，等会先不要动。信封拿出来之后，三个人为一组。最后几位同学没有信封了，不好意思啊。就是左边放在那的那张图，干什么呢？想方设法把它转化成直田，也就是长方形。然后有要求：第一，在纸上画一画；第二，转化得到的图形也就是长方形和原来的三角形有什么联系；第三，小组派代表到前面来说一说我们是怎么研究的，研究的结果是什么。听明白了吗？
生：听明白了。
师：好，现在开始。哎，这张怎么画过了呢？这里有啊，还好还好。嘿，这张没有，这张没画过，我不小心放了两张进去了。哎，对，这张新的。在信封里面拿出来呀，别客气。不是在信封上画，在信封里面啊。哎，叫大家带来红色的马克笔，用红色马克笔画起来明显一点。
（学生开始小组活动，老师巡视指导）
师：有些同学想到很多种方法，然后把一些方法都画在同一张纸上了啊。来，你们刚才拿到纸的小组，派一个代表来给我们解释一下啊。好，我要把它移下来一点，放在正中间。好，这是哪一个组的啊？你解释我写。
生：我们弄的就是把这个三角形从中间切开，然后把这个三角形移到这里，然后转一个方向，然后这就成了一个长方形。然后求它的面积就是用长乘宽。
师：哦，新得到的长方形面积是长乘宽，对不对？那么刚才还有个问题哦，说新得的长方形和原来的三角形之间它们有什么关系？
生：关系就是这个长方形是用这个三角形组成的。
师：对啊，还有别的关系吗？我们就只说到了这个啊。那我提示一下，就是长方形的这条长跟原来的三角形的底有什么关系啊？
生：长方形的长是三角形原来底的一半。
师：哦，我记下来啊，是底除以2，是吧？嗯，还有吗？
生：长方形的宽是和三角形的高一样。
师：长方形的长变成了跟原来三角形的底除以2一样，宽跟原来的高一样。所以你觉得三角形的面积和长方形的面积一样，可以怎么算呢？
生：可以用三角形原来的底除以2乘高。
师：同意吗？
生：同意。
师：好的，非常好啊。好的，解释得很清楚，图也画得很好，谢谢你们，也谢谢你们小组。来，我们来看，请你拿着这个作品下去啊。好，我们来看这个。你来解释吧。
生：我是把这个三角形从高这个位置分成两半，然后把这个翻朝上面，再把这边也翻朝上面，就得到了一个大长方形。这个大长方形跟原来三角形的关系是这两边的面积加起来跟这个是一样的，也就是说这个大长方形的面积是这个三角形的两倍。
师：你提到了面积，那还有底和高，长和宽啊。呃，我们要求这个三角形的面积，只要用这个长方形的宽乘它的长，再除以2，也就是宽就是三角形的底，长就是三角形的高，那就是底乘高除以2，我求出的公式是这样，是不是很清晰啊？
生：同意。
师：非常好啊。好，谢谢你。不好意思啊，好，谢谢你，话筒传给下一组吧。
生：我们组是把高的中间分了一半，然后把上面的……中间再切开一部分，这里的移到这里来，这里的移到这里来，它就成了一个长方形。
师：继续。
生：我们发现上面切的高的一半，那就是上面和下面都是一样的，就说明梯形和两个三角形也可以组成一个长方形。
师：嗯嗯，那我想问的是，你得到的新的长方形跟原来的三角形，它在这些边上有什么关系啊？
生：我们发现底是不变的，因为这一条不变，显而易见。然后这一条就是宽，宽就是高的一半，就是除以2。
师：好，然后按照你们这种方法，那个三角形的面积可以是……
生：三角形的面积可以是假设底是b，假设高的一半是a，就是b乘a的一半，也就是底乘高除以2的商。
师：我这样写可以吗？你过来看一下。
生：可以。
师：同学们赞同吗？
生：赞同。
师：好哎，稍微等一下。这种方法想到的同学有没有？其他小组有吗？哎，后来又慢慢想到了啊。好的，这个方法非常与众不同，平时我们不太用这样的方法，这个方法非常好哎。那么现在其他小组的同学听明白了吗？
生：听明白了。
师：好哎，还有一组来，请你。
生：我们组是我和王艳瑞，我们想的是把这个分开，移到这个上面，然后这个分开移到这个上面。底也就是它的宽，发生的变化是由4格变成了两格。然后高就是……上面的变化是从没有格数变成了两格。然后结论就是三角形转化为长方形，面积不变。
师：除了面积不变，其他还有什么关系呢？