师：上课。
生：起立，老师好！
师：同学们好，请坐。同学们，上节课我们认识了圆。你们瞧，这里有三个大小不同的圆形车轮。想一想，如果它们各滚动一周，哪个车轮滚动的距离比较远呢？
生：半径最长的圆最长。
师：半径最长的圆哪一个？
生：右边最大的。
师：最大的那个，请坐。这是你的意见，还有吗？你说。
生：直径最长的圆。
师：欸，你认为是哪一个？
生：右边最……右边的那个。
师：都认为说是右边的，也就是第三个那个，是吗？你们也是这样认为的吗？
生：是。
师：好，请坐。那到底是不是这样呢？我们一起来验证一下，请同学们注意观察。怎么样，猜对了吗？
生：猜对了。
师：我发现咱们同学对圆的感觉真好。相信通过刚才的观察，你们一定也都发现了，其实这车轮转动一周所行驶的距离，就是车轮的周长。哎，发现同学们都提到了一个很重要的概念，什么，一起说。
生：周长。
师：周长。那么这第三个车轮，它的周长在哪呢？谁愿意上来指一指？好，那个男孩就请你。
生：是这一条直线长度，也是它一圈的长度，这两支长度一样。
师：问问大家同意吗？你们同意吗？
生：同意。
师：你们想的和他指的说的是不是一样的？
生：是的。
师：来，掌声送给他。太棒了。通过之前的学习，我们知道车轮一周边线的长就是车轮的周长。你们瞧，这里三个车轮，它们的大小不一样，周长也不一样。那车轮的周长可能与它的什么有关呢？同学们可以猜猜。
生：我觉得它应该和半径，嗯，和直径有关系。
师：呦，他一下子说出两个很重要的概念，听清楚没有？
生：听清楚了。
师：来，谁听清楚了，你说。
生：半径和直径。
师：请坐。同学们的想法很有价值啊。那圆的周长跟它的半径和直径到底有没有关系呢？如果有，又是什么样的关系呢？今天这节课，我们就一起来探索与圆周长有关的奥秘。我们今天的探索啊，不妨就从圆的周长和直径的关系开始。说起来，咱们一起来看，这是它们的直径，还有它们的周长。请同学们认真观察并比较，有什么发现？
生：直径越长，那么也就意味着周长就越长。
师：哇，这个发现可太重要了。听清楚没有？
生：听清楚了。
师：他发现了什么？那个男孩你说。
生：直径越长的圆，周长就越长。
师：很好，你说。
生：嗯，直径越长，它的周长就嗯越长。
师：请坐。那如果直径越短呢？你来。
生：周长就越短。
师：继续你说。
生：直径越短，周长就越短。
师：一起看，是这样吗？很好，请坐。我明白了，直径越长，周长越长；直径越短，周长就越短。这看来圆的周长和它的直径之间确实有着某种很密切的关系。那么，这种关系到底是一种怎样的关系呢？对于这个问题，同学们可以大胆地猜一猜。有想法吗？
生：他们之间可能是倍数关系哦，因为比较远啊。
师：我们能握个手吗？来，哇，他是今天第一个大胆地提出自己猜想的人。我建议我们先把掌声送给他好吗？因为你们要知道，许多伟大的发现都是从一个大胆的猜想开始的。在他的猜想当中，好像提到了一个很重要的关系，什么关系？你听到同桌说。
生：倍数关系。
师：它提到了倍数关系。如果圆的周长和它的直径是倍数关系的话，也就是说，它们俩的什么可能是不变的？你知道，请你。
生：呃，他们两个之间的比例是不变的。
师：哦，提到了比例，继续你说。
生：他们俩相除所得的商是不变的。
师：同意吗？
生：同意。
师：其实同学们讲的意思是同一个意思，是不是很好？请坐。也就是，如果他们俩真的像同学们猜想一样，那就是说他们俩的商应该是不变的。哎，研究两个量的关系，除了可以看它们的商，还可以从哪些方面来思考？
生：它可以看它们的和、它们的差，还有它们的积。
师：此处应该有哈，感觉同学们都傻了，哈哈哈哈。好了，他一下子提出了三个很重要的关系，有没有听清楚？
生：听清楚了。
师：请坐。他说到了和，哎，和有没有可能是不变的呢？还有什么，举手说吧，还有什么？来你说。
生：差也不变。
师：对呀，差有没有可能是不变的呢？还有没有，一起说。
生：积不变。
师：哦，积有没有可能是不变的呢？哎呀，我发现同学们太厉害了，提出了这样四个不同的猜想。那么这四个猜想当中，你们觉得哪一个的可能性更大，或者说更合理呢？有想法，这样，呃，我们先自己想一想，然后可以把你的想法跟同桌之间说一说，我们一会再来交流，好不好？来，开始。
生：商不变的可能性有点大。
师：是吗？为什么呢？
生：嗯，这是一种感觉。
师：哦，好，挺好。好的孩子们，有结论了吗？
生：有。
师：来说说看，你们觉得这四个猜想当中哪一个猜想的可能性更大，或者更合理？
生：我觉得商不变最有可能。
师：嗯，能具体说说吗？
生：呃，因为，呃他们说之间是倍数关系，那只有商才呃，我觉得才符合这个条件。
师：哦，你想到了刚才的倍数关系，不过呢，还只是我们的一个猜想。你的意见，请坐。继续。
生：我觉得要不然是差不变，要不然是商不变。因为和和积的话，呃我们知道，直径越长，周长就越长，所以说两个都增大，怎么可能和或者积不变呢？
师：来，问问大家，听懂了吗？你们听懂了吗？
生：听懂了。
师：哇，怎么样，说的太好了。这样看来，他一不小心就帮我们已经排除了一种猜想，对不对？看来和不变这种猜想肯定是不合理的。来，照这样下去，继续说，还有吗？来，最后男孩。
生：这个差不变，你也呃，你有时候也不能保证，因为有时候它长和短也并不呃，也并不是因为它们中间的差就不是变化。
师：哈哈，我明白你的意思了。也就是说差不变有这种可能，但是好像可能性不是很大，和商不变相比，对不对？那这里还有个积不变呢，来你说。
生：积不变是最不可能的，嗯，因为两个数相乘一定比那个数要大，所以积不可能不变。同理和，和刚才和不变的思考方式一样，那在这里，积不变也是不可能的。
师：那还剩下两个猜想，一个是差不变，一个是商不变，你们觉得哪个可能性更大？
生：商不变。
师：都认为是商不变，那行，那我们就从这个可能性更大，或者是大家认为这个更合理的这个猜想开始，我们就跟着感觉往下走好不好？哎，那么圆的周长与直径的商到底是不是一个确定不变的数，如果是，它们的商又是多少呢？对于这个问题，我们光有猜想还不行，接下来我们还要进行实验和验证。那接下来我们该怎么实验和验证呢？对于这个问题，咱们四人小组在一块商量商量好不好？好，开始。
生：我们用一根线，先把圆的周长给它测出来，再用以前的方法测它的直径，用周长去除以。
师：嗯，挺好挺好，而且我们可以多找几个圆试试对不对？好。怎么样，有什么好的方法吗？
生：首先算出它们直径和它们的面积，先准备两个大小不一样的圆，然后呢用一根长纸条把它围住，呃，做好标记，然后测量。
师：厉害，不错不错。好，对，可以交流交流。怎么样，有好方法吗？
生：嗯。
师：好的，来，同学们，经过刚才的讨论和商量，你们都有什么好的方法呢？
生：我们可以拿一个圆来量一量它的周长。
师：嗯，好，继续，有补充吗？
生：我觉得在量周长的时候，我们可以学习以前三年级我们学过的量树叶周长方法。那时候，树叶的周长是一个不规则的图形，我们没有办法去直接用公式计算，所以我们当时用一根细线将它的周围围成一圈，把它周围给围起来，最后将线绷直，然后用直尺测出它的长度。我觉得圆也可以这样做，用一根线把它的周长也围一下，最后也绷直，这样我们就能测出周长了。
师：嗯，真好，他还分享了具体测量周长的方法，很好。女孩你说。
生：我觉得可以多找几个圆，然后呢想办法量出它的周长和直径，然后用周长除以直径，看看是不是真的商不变。