师：上课！起立！
生：老师您好！
师：同学们好，请坐。这节课我们继续圆这个单元的研究。哎，上节课我们认识了圆，对吧？想一想，接下来我们还会研究什么？还会研究什么？你说。
生：我觉得我们接下来应该会学习圆的周长。
师：还有吗？你说。
生：呃，我觉得我们可能还会学习圆的面积。
师：真好！是的，这三个方面是我们研究平面图形的主要内容：从认识到周长再到面积，也是我们学习这些内容的一般过程。今天呀，我们就接着来研究什么？
生：圆的周长。
师：对，圆的周长。哎，在圆的认识当中，我们重点认识了圆的特征，对吧？今天呀，我们要研究圆的周长。那请同学们先来做一个展望，这节课研究完以后，我们最终会得到什么呢？最终会得到什么？你说。
生：圆的周长。
师：说了等于没说。谁还想说？最终会得到什么？你说。
生：最后我们应该会得到一个公式。
师：他说到一个词很关键，叫什么？
生：公式。
师：哎，起立。问题来了，你是怎么想到最后会得到一个公式的呢？
生：因为我们以前在学长方形、正方形还有三角形的时候，最后我们都会得到一个公式，所以我觉得我们这节课学完圆的周长也会得到一个公式。
师：谁听懂了他的意思？你说。
生：因为我们以前学周长的时候都会得到一个公式，所以学完这节课也会得到一个公式。
师：同意吗？
生：同意！
师：他说的清楚，你听得明白，掌声送给两位！是啊，在探索新知的时候，能够主动关联旧知，是一个很好的想法。哎，那探索出圆的周长公式有什么用呢？有什么用呢？想一想，你说。
生：对，可以让我们更方便地了解圆的周长。
师：了解还是干嘛？
生：计算，诶，方便。
师：真好！还有吗？你说。
生：而且我觉得我们不仅可以算求到这一个圆的周长，我们可以把所有的圆的周长都求到。
师：所有这个词用的好不好？
生：好！
师：掌声送给他！看来公式啊，可以满足一切情况，放诸四海而皆准。哎，例如长方形的周长公式是谁？来，你说。
生：对，这个男同学，长方形的周长公式就是长乘宽……说说完，哦，长加宽乘2。
师：同不同意？
生：同意。
师：做了一个调整。你再说，你有补充。
生：我觉得应该是长加宽的和乘2。
师：听懂了吗？对，加一个“和”就更好了。哎，同学们，这公式适用于所有长方形吗？
生：是！
师：正方形的周长公式呢？谁来？来，郑明宇同学，对。
生：正方形的周长公式是边长乘4。
师：同不同意？
生：同意。
师：适用于所有正方形吗？
生：是！
师：那圆的周长到底有没有公式呢？
生：有！
师：又长什么样呢？这就是今天啊，我们这趟数学之旅最终要解决的问题。课前同学们在猜谜语的时候，根据三个谜语的联系，借助梅花想到了草莓、杨梅。那这两个公式对于我们探索圆的周长公式又有什么启发呢？有什么启发呢？这样，把你的想法说给你的同桌听一听，开始。
师：哎，声音渐渐的小了，有什么启发？谁来？说的好的，我们主动把掌声送给他，好吧？来，你说。
生：我觉得圆的周长公式可能会用直径或者半径乘以一个固定的数。因为长方形的周长是长加宽的和乘以二，二是一个固定的数；然后正方形的周长是边长乘以四，四也是一个固定的数。而我们又知道边长、长和宽、正方形的边长是一个直线的边，而长方形的长和宽也是直线的，所以我觉得应该是圆中的直径或者半径去乘以一个固定的数。
师：掌声说明听懂了！谁来说说他是什么意思？他是什么意思？来，最后这名女同学，你的手举得最高。
生：呃，他想说的就是我们在学正方形和长方形的周长的时候，长、宽和边长都是长方形和正方形里面的直线，所以而圆里面，而我们在上节课学到了圆里面的直线就是直径和半径。长方形和正方形的周长是用它的直线去乘一个固定的数，所以我们觉得圆的周长应该是用它的直径或者半径去乘一个固定的数。
师：说的有没有道理？
生：有！
师：哎，这个猜想胆子很大，但很有道理。同学们听清楚了吗？
生：听清楚了！
师：那我可要考考大家，他们说圆的周长与什么有关呢？
生：直径和半径。
师：真好！又有什么关系呢？
生：四个字一起说：乘以一个数。
师：对，乘以一个数，其实就相当于是有倍数关系，对吧？那邱老师想问，为什么圆的周长会与它的直径、半径有关呢？为什么？你说。
生：因为长方形和正方形它们的周长公式都是用长和宽乘长和加宽，或者说边长乘以固定的数，然后呢，它们的长和宽或者边长都是直线，但圆里面它的直线就是半径或者直径，所以我们要与它有关。
师：对吧？谁还能说的更简洁点？为什么圆的周长会与它的直径、半径有关？你说。
生：因为我觉得就是我们在圆的认识那一课学过，圆的直径和半径决定圆的大小。圆的直径和半径越长，就证明这个圆越大，圆越大就证明这个圆的周长越长，所以我觉得圆的周长与它的直径和半径有关系。
师：谁听懂了他的意思？你说，对，就是这位同学。
生：呃，因为因为他在上一课圆的认识的时候学了直径，直径越长，圆就越长，圆越长周长就越长，所以呢这个圆的周长就应该和直径或半径有关系。
师：同不同意？
生：同意！
师：掌声送给两位！刚才啊同学们的推测很有道理，而且我们还知道，在同一个圆中，直径是半径的两倍，所以与直径有关，也就是与什么有关？
生：半径。
师：那我们就直接来研究周长与直径的关系吧。哎，如果正如刚才那位同学猜想那样，确实存在倍数关系的话，那请同学们想一想，圆的周长可能是它直径的几倍呢？好好想一想，可以结合这个圆来估一估。有想法的吧？举手的人不多呀。这样，有想法的孩子先憋着，给没想好的同学一些思考时间。有的时候啊，憋着也是一种美好。把你的想法说给你的同桌听一听，开始。
师：可能是它直径的几倍呢？好，你估几倍呢？只说结果就行啊，你说。
生：我觉得是两倍多。
师：停，还有不同的想法吗？你说。
生：我觉得是3到4倍左右。
师：请坐。还有不同的想法吗？你。
生：我觉得可能有2到4倍。
师：2到4倍对吧？看来同学们有不同的想法。这样，我们先请两倍多的同学来说说你的理由，好不好？谁来？就你吧，你说话筒。
生：这，我们可以把圆上面的那根弧线把它给变直，和直径来进行测量，把下面和上面的弧线都变直，和直径相比就差不多是两倍多的距离，所以我认为是两倍多。
师：哎，同学们，有句话叫耳听为虚，眼见为实。来来来，请你上来演示一下，来吧，快点。
生：我们可以把上面的弧线变成一根直线，再把下面的这根弧线也变成一根直线，把他们两个这样子连接在一起。
师：说吧，说就行了啊，你说。
生：然后我们用这个直径来比，差不多就是两倍多。
师：同学们同意吗？
生：同意！
师：同意就来点掌声啊！通过这位同学的演示，我们知道圆的周长大于直径的两倍，哎。我们来梳理一下刚才这位同学，他是把圆周长的曲线变直了，再去和直径进行比较的，对吧？
生：对！
师：那受他的启发，我们还可以怎么办？你说。
生：耳听为虚，眼见为实，孺子可教也。来来来，你来演示一下。
生：我们可以把这个直径点变弯，然后先贴着这里，然后先贴着第一个直径，嗯，然后做一个标记，继续。
生：然后再围着这里，这里又有一个，已经有两个了，嗯，然后再看这个标记，就是这还剩一点，所以我觉得应该是圆的周长应该是直径的3倍要多一点。
师：很负责任的再告诉大家，比完以后你发现了什么？
生：比完以后我发现圆的周长比圆的直径的3倍要多一点。
师：同学们，他的方法可以吗？
生：可以！
师：非常巧妙！来，我们请他骄傲的走回去。我们一起来看一看他的骄傲走。确实挺骄傲的哎！都说理不辩不明，刚才同学们的讨论呢很有价值，缩小了我们推测的范围，对吧？排除了两倍多，也顺势排除了4倍。现在我们知道圆的周长大于直径的3倍，哎，大于3倍嘛，对吧？问题来了，但在这个范围里的数很多呀，这些数都对吗？都对吗？你说。
生：我觉得这中间只有一个数是对的。
师：为什么？
生：因为我……为什么？因为我们之前学过正方形和长方形，它们的周长公式，它们的边与周长之间的倍数是固定的，所以我认为圆它的直径和周长之间的倍数也是固定的。