师：我们这是第几次见面呢？
生：第三次。
师：看来我们都是老朋友了，对吧？那老朋友就握握手。
（师生握手）
师：好啦，老朋友。今天给同学们带来了一个新朋友，他是谁？
生：杨倩！
师：谁知道她的事迹？好，你来。
生：她是清华大学在读学生，是东京奥运会中国第一枚金牌的获得者。
师：那你想对她说些什么？
生：杨倩姐姐能文能武，真是很厉害啊。杨倩姐姐学习又好，体育也好，她是我的榜样。
师：她是我们所有中国人的榜样。如果请你去体验射击运动，这里有三个靶子，你会选择哪一个？
生：我会选择第一个。
师：嗯，说说理由，拿话筒。
生：因为第一个靶子它的面积最大，所以射中中间那个小圆点的概率也就最大。
师：嗯，谢谢你。你同意吗？
生：同意。
师：好了，今天这节课呢，我们就一起来研究圆的面积。那什么是圆的面积？谁来摸一摸这个圆的面积？
（一生上台摸圆）
师：好，圆所占平面的大小就是圆的面积。关于平面图形的面积计算，你们已经有了哪些方法？
生：我们有了数方格、转化的方法。
师：哪些图形用的数方格方法？
生：数方格的方法用在正方形和长方形。
师：转化呢？
生：转化用在平行四边形、三角形、梯形。
师：好，谢谢你。我们一起来回顾一下，看来研究平面图形的面积计算，我们已经积累了丰富的经验。那今天要研究圆的面积，你准备用什么方法？
生：我准备用转化的方法。因为数方格的方法对于圆来说并不适用。
师：嗯，好，这是你的观点对吗？其他同学呢？
生：我选择用数方格的方法。因为圆是曲线图形，它没法转化成那些规规矩矩的图形来计算。
师：那我们试一试数方格的方法，观察一下，说说你的想法。
生：数方格的方法虽然可以得到一个大致的量，但是没法得到具体的面积。因为在方格中，有些方格会只占比一半多一些，或者比一半少一些，就没法算出一个具体的量。
师：那你现在想用什么方法来研究圆的面积？
生：转化。
师：同意吗？
生：同意。
师：那用转换的方法研究圆的面积，你准备把圆转换成什么图形？
生：我准备把圆转化成多个三角形，再把多个三角形转化成长方形。
师：嗯，好，谢谢你。
生：我对刚才同学说的有一点建议。我觉得他说的并不准确，因为圆不可能分割成一个一个规整的三角形，它只能由中点分出，分成8等分、32等分的扇形。我觉得可以在圆里面画多个正边形来计算正边形的面积。
师：好，谢谢。虽然同学们都想到了用不同的方法，具体方法都不一样，但是都想到了用什么方法？
生：转换。
师：对，都是转换的方法。他们都想把圆转换成我们学过的图形。那你们觉得圆转换成我们学过的图形，有哪些困难？
生：我觉得有一个困难，就是因为圆的边都是弧形，不容易转化成由直线构成的图形。
师：谁听明白了他的意思？
生：我认为他刚刚表达的意思是，圆是个曲线图形，而我们之前学过的都是直线图形，把曲线图形转化为直线图形是有难度的。
师：那你们觉得同意吗？
生：同意。
师：那我们大家都同意，我们把它记录下来，一起来研究好吗？
生：好的。
师：“化曲为直”，大家认为是有难度的，我们先打个问号在这，好吗？如何“化曲为直”，请利用你手中的纸圆片先想一想，再动手试一试，大胆独立探索，寻找“化曲为直”的方法，开始。
（学生动手操作，部分学生将作品贴到黑板）
师：好了孩子们，我们的大胆探索已经有了一些成果，我们一起来看一看吧。先看第一种方法，它有“化曲为直”吗？有谁来评价评价？
生：我觉得这个方法不是特别好，因为裁剪下来的半圆形，它也要计算面积才能算出整个圆的面积，现在的面积比圆的面积要小。
师：好，谢谢你。那我们来观察第2种方法，谁来说一说你的想法？
生：我觉得第二种方法比第一种方法要好。第一种方法的边比较长，而第二种方法边比较短，边也比较多，然后更接近圆。
师：有没有谁还想说，有问题的你还想问问？
生：我补充一下刚才同学说的。其实这就相当于在一个圆里面画一个多边形，这相当于画了一个正八边形。正八边形的边越多，它剩下剩余的空间就越少，它与圆面积的近似值就越高，但还是有误差。
师：对不对？好，坐下。那我们再来看看这些想法当中，有“化曲为直”吗？
生：我认为是有的。这样折来折去的话，会折出一些直径和半径，有助于裁剪之后计算面积。从二分之一圆，它折出了一条直径；四分之一圆，它折出了两条直径；八分之一圆更小一点；十六分之一圆呢，它折出4条直径。我们只看这一份图形，因为折的太厚了没办法固定，这一份图形还剩下两条半径。那每一份图形中的那条弧有变化吗？
生：我觉得后面的那些，下面那个就更接近直线了，误差应该会更小一些。
师：看起来直了吗？
生：更直了一些，但是不是完全是直的。
师：真的像他说的那样吗？我们借助电脑继续分，一起来看一看好吗？
生：好的。
师：有什么发现？
生：圆形裁剪出来的下面那个弧如果越短，就越接近像直线。
师：怎样让它的那条弧变得更直？
生：继续裁剪。
师：继续分，想象一下会得到一个什么样的图形？
生：我觉得会得到一个近似于一条直线的图形。
生：我觉得会越来越像一个三角形。
师：那我们一起去看看，真的是三角形吗？
生：不是。
生：其实它下面还是有一定的弧线的，但是它的弧线会越来越小，算出来后结果会越来越准确。
师：现在这个弧线你觉得会越来越小了，对吧？好，坐下谢谢你。那还能再接着分吗？
生：可以。
师：可以接着分，继续这样分下去，无限分割，最后的图形会是什么？闭上你的眼睛，想象一下。好了，你觉得呢？
生：我觉得会是一个近似于三角形的图形。
生：我补充一下，我觉得它越来越像三角形的扇形。
生：我觉得无限分割后的一个图形，人类的肉眼根本看不清，就像一条线一样。
师：同意他的吗？
生：同意。
师：孩子们你们的想象力真丰富，你们和数学家开普勒和卡巴列里的想法不谋而合。“曲化直”的问题解决了吗？
生：解决了。
师：怎么解决的？你说说。
生：它是通过转化，把一个扇形经过无限分割，近似转化成一个三角形，或者更像一条直线的图形。
师：好，谢谢你。那我把它记录下来。现在这个问号可以划掉了吗？
生：我觉得还不行。
师：你觉得还不行，那你说说看。
生：它毕竟还是没有完全的解决掉，只能说基本解决掉了。我觉得最好是把问号擦掉一半。
师：好了，看来你觉得就是基本解决了，对不对？已经非常接近很小很小的三角形了。那我们能擦了吗？
生：擦一半。
师：擦一半，那还留了一个问号在那了，把它缩小一点。我们继续分，最后那个“曲”能变“直”吗？