师：上课。同学们好。
生：老师您好。
师：同学们，你们知道吗？刘徽是中国古代特别著名的数学家，他在数学领域有很多杰出贡献。没错，刘徽是我国魏晋时期伟大的数学家，他的杰作《九章算术注》是我们中国数学的宝贵财富。在《九章算术注》当中记载着这样一段话，我们来看。有4分之2者，繁而言之亦可为8分之4，约而言之则为2分之1。谁来试着说说自己的理解？
生：如果有4分之2，把它变繁杂就变成了8分之4，把它化简就变成了2分之1。
师：这是你的想法是吗？谢谢，请坐。他找到了三个分数，分别是2分之1、4分之2和8分之4，他认为这三个分数的大小是相等的，你们认为呢？
生：相等。
师：那大家能否借助我们以前学习的经验和方法来说明它们的相等呢？下面我们来小组合作，请一位同学为大家读一下活动要求。来，那位男生。
生：活动要求：1、选择信封中的学具，用你喜欢的方法验证它们是否相等。2、说一说你有什么发现。
师：要求听清楚了吗？
生：听清楚了。
师：同学们完成了吗？老师也收集了同学们几种验证方法，我们来看一下。这是哪个组的作品，来，请两位同学上来给大家分享一下你们的方法。
生：我们第一张图片是把一个圆平均分成两半，涂其中的一半，就是2分之1。第二张是把一个圆平均分成4份，涂其中的两份，表示4分之2。第三个是把一个圆平均分成8份，涂其中的4份，表示8分之4。我们看到三个圆的涂色面积是相等的，所以我们判断2分之1等于4分之2等于8分之4，它们都是平均分的。
师：和他们方法一样的请举手。大家都想到了用图形来验证，谢谢两位同学。借助三个同样大的圆形纸片，从分数的意义上去考虑，可以判断出这三个分数的大小是相等的。这是哪个组的，你们来分享。
生：我们小组运用了计算的方法。我们首先把2分之1、4分之2、8分之4转化成除法计算，1除以2等于0.5，2除以4等于0.5，4除以8等于0.5。我们通过这三个算式的得数得知，结果都是0.5，所以我们推测2分之1等于4分之2等于8分之4。
师：大家还有疑问吗？和他们想到一起的举手，也有很多支持者，谢谢，请回。他们借助了分数和除法的关系，通过计算发现了这三个分数相等。我们利用以往的学习经验和方法，用不同的形式证明了这三个分数是相等的。请你观察这三个相等的分数，它们的分子分母各不相同，为什么分数的大小还能相等呢？请同学们结合图来看，分子分母变了，实际是什么变了，什么没变。来，小组讨论讨论。
生：我看到的是把圆平均分的份数变了，取的份数也变了，但取的面积的大小是没有变的，所以这三个分数大小相等。
师：同不同意？
生：同意。
师：结合图来观察，非常好，谢谢你，很善于观察。同学们，分的份数变了，实际就是分数单位变了，取的份数也跟着变了，实际是取得分数单位的个数发生了变化，最关键什么没变？
生：阴影部分的大小没变。
师：所以这三个分数大小是相等的。观察这三个相等的分数，它们的分子分母分别是怎样变化的？你来说。
生：它们的分子分母同时乘了2，2分之1的分子乘2、分母乘2，就是4分之2，然后4分之2的分子和分母乘2，就是8分之4。
师：好，谢谢。他观察到了相邻两个分数之间分子分母的变化。还有补充的同学吗？你来说。
生：我发现2分之1到8分之4，它的分子和分母是同时乘了4。
师：他还隔一个看，从2分之1到8分之4，分子分母同时乘4，请坐，真善于观察。刚才我们是从左往右观察，还有不同角度吗？你说。
生：我发现从右往左观察的话，8分之4的分子和分母同时除以2，就变成了4分之2，然后4分之2的分子分母同时除以2，等于2分之1，8分之4的分子分母同时除以4，就变成了2分之1。
师：是这样吗？请坐。从不同的角度我们发现了分子分母的变化情况。让我们回到刘徽的这句话当中，你觉得刚才我们的发现在这句话当中，哪个字能体现出分子分母这样的变化？后面女生。
生：我觉得"繁"和"约"就能体现出分子和分母之间的变化。
师：同意吗？
生：同意。
师：这里的繁和约代表了刚才分子分母这样的变化。你看这就是我们数学家的语言，多么简单概括。那就让我们站在这个巨人的肩膀上，繁而言之，你还能想到哪些分数？你来说。
生：我通过8分之4分子分母同时乘以2，得到了16分之8。
师：好，请坐，还有吗？
生：我通过16分之8，分子分母同时乘2，得到了32分之16。
师：请坐，还有吗？
生：通过2分之1分子分母同时乘以6，得到了12分之6。
师：谢谢，请坐。还有吗？有什么感觉？
生：我觉得这样乘下去，无穷无尽，没有尽头。
师：也就是说继续繁而言之，无穷无尽。那反过来，约而言之，再约而言之，你有什么发现？男生你来说。
生：我觉得无论怎么约，它们的大小都是相等的。
师：你认为它们的大小都是相等的，好，请坐。约到最后你有什么发现？来这位男生。
生：约到最后还是2分之1，还能再约分吗？不能了。
师：也就是约而言之，约到最后就是2分之1，2分之1也就是最简分数，是这样吗？谢谢，请坐。刚才有同学认为这些分数大小都是相等的，这是我们的感觉，对不对？而数学研究是需要严谨的验证，下面我们就通过图形来观察一下。你有什么发现？来男生你来说。
生：我们把平均分的份数扩大的时候，一个圆分的份数就越来越多了，但是它们的阴影部分大小还是相等的。
师：大家都同意吗？
生：同意。
师：好，请坐。在我们分的过程当中，分的份数越来越多，取的份数也越来越多，但是阴影部分的大小不变，所以这些分数的大小就都是相等的。也就是说利用繁和约的方法，我们可以找到一组和2分之1相等的无数个分数，是这样吗？那除了2分之1，你还能找到其他相等的分数吗？那它们的分子分母之间也存在着这样的变化特点吗？接下来，请大家拿出学习袋，试着完成学习任务。
师：同学们刚才在研究的过程当中，老师也收集了几种方法，我们具体来看一下。这是哪个组的，你们组的，请两位同学上来给大家分享你们的想法。
生：大家好，我们举的例子是100分之1等于200分之2等于300分之3，它们的变化规律和刚才的2分之1是一样的。从100分之1到200分之2，分子1乘2等于2，分母100乘2等于200；从100分之1到300分之3，分子1乘3等于3，分母100乘3等于300。这是我们的猜想，下面我们验证了一下，第一个方法是把这些分数全化成小数，1除以100等于0.01，2除以200也等于0.01，3除以300也等于0.01，它们的结果都是0.01，所以我们通过计算可以证明100分之1等于200分之2等于300分之3。接下来是我们总结的规律，我们发现分数的分子和分母同时乘几或除以几，0除外，因为零不能做为除数，任何数乘零都等于0，分数的大小是不变的。