师：上课，同学们好，请坐下。我们知道方程是刻画现实世界非常有效的数学模型。在前面的学习中，我们利用方程知识解决了生活中的许多实际问题，并且重点研究过一元一次方程。同学们回顾一下，还记得什么是一元一次方程吗？我们一起来说。
生：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，而且两边都是整式，我们把像这样的方程叫做一元一次方程。
师：对于一元一次方程，同学们已经非常熟悉了。从今天开始，我们将认识方程家族中另一类重要成员，那就是一元二次方程。什么是一元二次方程呢？首先我们来看这样几个问题，请同学们根据问题情境只列出方程。我请几位同学分别起来分析一下，你是如何根据这些问题列出方程的。第一个问题，同学们都很踊跃啊。武昭庭同学，你来分析一下，你是怎么思考这个问题的？
生：我们可以设雕像的下部为x米，那么雕像的上部就为（2 - x）米。根据题目中上部与下部的高度比等于下部与全部的高度比这一等量关系，由比例的性质变形可得下部的平方等于上部乘以全部。设下部为x，上部为（2 - x），由此列出方程x2 = 2×(2 - x)。
师：是不是根据雕像上部与下部高度的比值关系列出这个方程的？昨天同学们下去化简了，经过整理，它可以化简成什么形式？
生：x2 + 2x - 4 = 0。
师：这位同学做得很好。大家看，这个方程是我们前面学过的一元一次方程吗？
生：不是。
师：说明仅有一元一次方程不够用了。刚才武昭庭同学表现很棒，分析思路很清晰。接下来看第二个问题，哪位同学来分析一下这道题，你是如何列出方程的？何宇亮同学。
生：设被减去的正方形边长为x厘米。从图形上看，河底的长可以表示为100 - 2x厘米，河底的宽可以表示为50 - 2x厘米。由长方形面积公式可得方程(100 - 2x)×(50 - 2x) = 3600。
师：说得非常好，请坐。同样，这个方程同学们化简整理一下，它最终可以变成什么形式？
生：x2 - 75x + 350 = 0。
师：这个方程是一元一次方程吗？
生：不是。
师：我们再来看最后一个问题，这个问题稍有难度，前面两个问题的等量关系同学们基本能很快找到，这个问题的等量关系稍隐蔽些。哪位同学来说一说？
生：可以首先设邀请x个队参加比赛，则每个队要与除自己之外的队伍比赛，一共可以比赛x(x - 1)场。但甲和乙比赛与乙和甲比赛是同一场，存在重复，所以要除以2。根据题目，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，一共可以比赛4×7 = 28场，所以方程为x(x - 1)÷2 = 28。
师：分析得非常好。如果设邀请x支队伍参加比赛，每个队不能和自己比赛，要和剩下的每支队伍都赛一场，所以一个队需比赛(x - 1)场，x支队伍比赛总场次为x(x - 1)。但有重复情况，所以除以2。这样自然而然列出方程。这个方程同样可以整理化简，同学们化简后它可以变成什么？
生：x2 - x - 56 = 0。
师：刚才由上面三个问题，我们分别列出了这三个方程。这三个方程都不是前面学过的一元一次方程，那它们属于什么方程呢？
生：一元二次方程。
师：同学们都知道它们就是今天要认识的方程家族中的另一类成员——一元二次方程。什么是一元二次方程呢？它与一元一次方程相比有什么区别？请仔细观察这三个方程，它们与一元一次方程相比区别在哪里？也就是它们有哪些显著的共同特征？同桌之间相互讨论一下。
（学生讨论）
师：同学们找到它们的特点了吗？相信很容易看出来。哪位同学起来说一说，你认为这三个方程有哪些共同特征？第六小组那位同学，你来说一说。
生：方程两边都是整式，并且未知数的最高次数是2，只含有一个未知数。
师：他说得比较快，我们一起梳理下。他说的第一个特征是这些方程两边都是整式，实际上，这些方程左右两边，右边是单项式，左边是多项式，单项式和多项式统称为整式，所以这些方程都是整式方程，这是第一个特征。第二个特征，这三个方程都只含有唯一的一个未知数x，当然表示未知数时，除了x，还可以用其他字母，如y、z等，我们习惯用x表示。第三个特征，未知数的最高次数是2。这三个方程的未知数最高次数都达到了二次。这一来，它们跟一元一次方程的区别就很明显了。请坐。这三个方程就是同学们今天要认识的一元二次方程。那到底什么是一元二次方程？能自己给它下一个准确的定义吗？可以仿照一元一次方程定义的方法来给一元二次方程下定义。刚才同学们对这三个方程的共同特点找得很准确。
生：等号两边都是整式，含有一个未知数，并且未知数的最大次数等于2，具有这种特征的方程是一元二次方程。
师：这位同学说得对吗？实际上他就是把刚才找的三个特征组合罗列在一起了。请坐，定义找得很准确。我们来看书上给出的一元二次方程的定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程。这跟我们刚才总结的类似，描述方程时可用这三个特征，顺序颠倒也可以，只要满足这三个特征就行。对着黑板，我们把这个概念读一下，看看同学们对一元二次方程的特征是否真正理解和记住了。