师：上课，起立。
生：老师好。
师：同学们好，请坐。今天，学校的实践小组来到公园进行实际测量。请同学们观看视频，看看它给我们带来了怎样的问题。
（播放视频）
师：这是一块长为30米，宽为20米的矩形草坪，沿着旁边修一条路，剩下的部分种花，种花区域面积要有450平方米。这条路需要修多宽？
生：这个简单，设路宽为x米，则需要种花的矩形长为30米，宽为（20 - x）米，可列出方程30×(20 - x)=450。
师：哪个同学来说一说张宝恒列这个方程的依据？
生：因为我们要求花圃的面积，它的宽原本是20米，有条路宽是x米，用20减去x米就得到花圃的宽。已知花圃的长是30米，根据长方形面积等于长乘宽，就可以用30乘以（20 - x）等于450平方米。
师：嗯，说得非常准确，请坐。同学们回忆一下，解应用题的一般步骤是什么？用六个字概括。
生：审、设、列、解、验、答。
师：在这个过程当中，最重要的就是第一个环节——审题。审题要弄清题意，明白题目要解决什么问题，还要找到基本量，构造等量关系，这样就能解决问题了。同学们看，30×(20 - x)=450，这是我们学过的方程吗？是什么方程？
生：一元一次方程。
师：哪个同学说说看，一元一次方程有什么样的特征？
生：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程。
师：黄金科同学回答得非常完整。好，请坐。只含有一个未知数，未知数最高次数是1，且是整式方程。请同学们继续观看视频，看看又有怎样的数学问题。
（播放视频）
生：算出来了，路宽为5米。
师：嗯，真不错。为了让大家欣赏到更多品种的花朵，我们决定沿着这条短边向对面的名书园再修一条路，并与原路等宽，且种花的面积仍然是450平方米。你们觉得这条路又应该修多宽？同学们，这个问题要解决什么？怎么找它的等量关系？请同学们独立思考，完成这个题目。
（学生思考做题）
师：看同学们做得非常快。好，哪个同学来说说这个题目你是怎么解决的？来，谁来说一下？
生：我们可以发现，题目已经给了整个草坪的长度和宽度。通过用整个的长度减去小路的长度，整个的宽度减去小路的宽度，就可以得到中间花圃的面积。
师：嗯，那你的式子是什么？
生：(30 - x)×(20 - x)=450。
师：很好，请坐。还有同学有不同的想法吗？
生：罗佳佳同学，我的解法是用整个的面积减去两条小路的面积。我的方程是600 - 30x - 20x + x2 = 450。
师：刚才你说减去两个花圃的面积是口误吗？减掉的是哪一部分？30x是哪一部分？是哪条边上的小路？是长边上的小路还是短边上的小路？
生：30x是长边上的小路，在这里；再减去20x是短边上的小路。
师：那为什么要加个x2？
生：因为两条小路有一部分重合了。
师：嗯，好，非常好，请坐。两位同学从不同方法列出了两个方程。第一个同学直接求花圃的面积，我们看到这个花圃是长方形，它的长是30 - x，宽是20 - x，所以可直接求面积。另一个同学是间接求的，把整个图形分割成几个矩形来计算。实际上，很多几何图形问题都可以用直接求或间接求的方法。同学们，你们能把这两个式子化简得更简单一点吗？当然，有的同学列的方法可能不一样，把你们手中的方程化简一下。画好了吗？谁来说一说你化简后的方程？
生：x2 - 50x + 150 = 0。
师：嗯，好，请坐。其他同学化简后的方程相同吗？
生：是。
师：噢，两个方程经过化简都能得到相同的式子。同学们，我们再看，这是我们学过的方程吗？
生：不是。
师：那它是一元一次方程吗？
生：不是。
师：这个方程与我们学过的方程，最显著的区别在哪里？
生：最高次数。这个方程未知数最高次数是2。
师：谁来说一说，怎么会产生这个二次项的？
生：胡洪斌，因为方程里出现了一个x乘以x，所以就有了x2。
师：同学们，你们同意吗？这里出现了两个关于x的一次项相乘，所以出现了二次项。实际上，这样的方程在生活中有很多例子。请同学们看这个问题，在设计人体雕像时，使雕像的上部与下部的高度比等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感。按此比例，如果雕像的高是两米，那么它的下部应设为多高呢？请同学们独立完成这个题目，看谁能很快找到等量关系。做好了吗？同学们。
生：做好了。
师：谁来说这个题目的等量关系是什么？哪位同学来说。
生：许博凯，这道题的等量关系是雕像的上部与下部的高度比，等于下部与全部的高度比。
师：这里出现了一个比值的关系。
生：可以转化为下部的平方等于上部乘以全部。
师：这里面比值我们可以把它转化成内项积等于外项积。嗯，好，下部的平方等于全部乘以上部，接下来设下部为x。
生：那么由题目可知，上部就是2 - x。
师：所以可以列出方程，x2 = 2×(2 - x)。
师：嗯，好，请坐。同学们同意吗？
生：同意。
师：这个方程能再化简吗？
生：能，x2 + 2x - 4 = 0。
师：我们这个方程又出现了二次项，对吧？再来看一个身边的例子，相信很多男同学都特别喜欢打篮球，在这个问题当中又有怎样的数学问题呢？同学们怎么去找它的基本量和等量关系？请同学们先独立思考，如果遇到困难，就和同桌一起研究，看看这个题该怎么解决。
（学生思考讨论做题）
师：做好了吗？有的同学做得很快。好，谁先来分享一下你的结果。
生：半切，我的结果是x(x - 1)÷2。设参赛球队有x个，然后就得到方程x(x - 1)÷2 = 28。因为计划安排7天，每天4场比赛，7×4 = 28场比赛。
师：为什么这样列？
生：因为这是单循环比赛。如果是两个球队，每个球队要跟对方打一场，但多算了一场，所以要除以2，即2×1÷2。如果是三个球队，一个球队要打两场，同样多算了一场，就是3×2÷2。以此类推，就得到x(x - 1)÷2。
师：你先组织一下语言。谁来补充一下，或者有没有同学和他的式子一样？谁的式子相同？
生：何庆莹，我得出的式子也是x(x - 1)÷2 = 28。
师：你做出来了吗？写在本子上了吗？那好，你给大家展示一下。
生：先设有A和B两个队，他们一共要打一场，A和B打一场，B和A打一场，列出式子就是2×1÷2 = 1场。三个队分别是A队、B队和C队，每个队都跟其他两个队打一场，得到3×2场。因为A和B打一场相当于B和A打一场，每个队都有重复的一场，所以要除以2。