师：今天呢，老师要和咱们同学一起来学习的内容是2、5倍数的特征。哎，你们是几年级的？
生：五年级。
师：五年级的啊。我们要学习这个2、5倍数的特征，在这里面，谁说说，我们要想学这2、5的倍数特征，我们应该怎样去学呢？我们怎么去学？
生：我觉得要先找出2、5它们这两个数，它们倍数的特征，找出它们倍数有什么规律。
师：哦，也就是你说的意思，我们得先找出2、5的倍数，对不对？行，好，请坐。确实是这样。这样啊，我们就先以一个数为例，先以5为例，要找5的倍数的特征。现在咱们同学手中都有一个表格，看到了吗？这个表格还有一个名字呢，谁知这表格叫什么名？对，说对了，你们看到了，它是1 - 100的表格，它就叫百数表。那你想，我们要先研究5的倍数，你想怎么干？
生：先从表里面找出5的倍数。
师：第一步得找，要研究5的倍数特征，那你得把5的倍数都找出来呀，所以第一步把5的倍数找出来。那你说找出来之后，就把那些倍数就放在那就完了吗？下一步你要干什么？
生：下一步就是把这些找到的倍数圈起来。
师：把他们圈起来哈，圈起来干嘛呀？圈完了就搁那了，这就算结束了？
生：可以把它们整理一下。
师：整理啊，他说整理。还有别的吗？
生：把5的倍数和2的倍数圈起来之后，在里面摸索它的规律。
师：真棒，他用了一个词，用得很好，他用了一个什么词啊？摸索。我们慢慢去发现它们的规律。好，请坐。那呀，我们既然先以5的倍数特征为例，那我们第一步先把5的倍数怎么办？
生：圈起来。
师：第一步，把5的倍数圈起来。圈完之后呢，干什么？刚才那男生用了一个词，干什么？
生：摸索一下这5的倍数有什么规律。
师：好不好？好，开始动手，速度要快。来，先把5的倍数圈起来嘛，第一步我们先把5的倍数圈起来，完了你就找着一个，有好多呢。哎呀，圈得很快。圈完没？圈完了。第二步该干嘛了？摸索一下它有什么规律，找找它有什么规律。嗯，不错。
（学生圈数、探索规律）
师：我看咱们同学都圈完了，现在呢进行到了第二步。那它有什么规律呢？你还没有圈完，除了这个之外，还有呢，5的倍数。嗯，这个不是，这个不是。你说5的一倍是5，5的二倍呢？是10，哎，这样算。你还没有找到吗？啊，5的倍数。哎，对对对。哦，你这差得远，它也是它的一倍啊。找到的看看你有什么发现，如果周围同学也有发现了，你们之间可以互相交流一下，看一看发现有没有不同。嗯，不错，对对，就是这些。那你发现一下吧，这是你的发现，对吗？啊，可以和同学交流一下，看看有没有什么不同的。
师：好了，看来啊同学都有所发现了，那我们一起来看一看好不好？来，哪个同学来汇报一下，先说一说，我们找到的这些5的倍数都有哪些啊？这是我们的第一步。
生：（小伙子）5的倍数的话，有第一排的第五个就是5，哦，5、10、15、20、25、30、35……
师：他说的对不对？没问题，要按他这么说下去啊，太麻烦了。谁能用简单的话来说，他说第一个没问题啊，第一个他找到了5，还找到了10，然后他就接着往下念啊，你找的都对。谁能说的简单一点，用我们的数学语言，把它表达得简单一些？
生：（小姑娘）可以说5至95，还有10至100。
师：我明白你的意思，但你这样一说吧，别的同学就会产生怀疑，那5至95，那6是不是也在5至95之间啊？谁能用我们数学语言来表达？
生：（拿话筒的小姑娘）依次加5。
师：依次加5，你再说它们的规律对吧？行，好，请坐。我说，怎么能够把这些5的倍数先说全喽，待会咱再说你的规律。嗯，第一个是5，依次加5，之后嗯嗯，5这一行，5这一行，这里是嗯下面，5下面都是1、2、3、4……1 - 9。嗯，第哎呀，走走走，第5列的全部和第10列的全部。
师：此处难道不应该有掌声吗？你们描述不清楚的事情，人家用了我们数学里边一个词，5的那一什么？列。对，竖着的这个叫什么？列。对，小姑娘，他这样说是不是表达得更清楚？你那个5 - 95，你那个10 - 100，是你那个意思吧？但你看我们数学语言，就很严谨了。这表达的是5这一列，还有10这一列，都是5的倍数。都谁找对了？举手啊，都找对了。好，放下。该进行我们的第二步了，第二步是什么？
生：找规律啊。
师：看看你找到了什么规律。刚才那个小姑娘就已经说了一个规律，这个小姑娘也已经用到了，这个规律是什么？
生：依次加5。
师：我们一起来看一看，是不是依次加5。5到10加了几？5，10到15加5，40到45加5，45 - 50加5，哎，每次都加5，对不对？其实受她的启发，我就想到了，那你要是横着看，从小向大看是每次加5，那我们要反着看呢？哎，你看，当我们的角度不同的时候，带来的结果就是不同。那也就是刚才我们发现了一个规律，是什么呢？每次加5，哎，还可以说每次减5，哎，角度不同带来了不同的思考。还有没有别的规律？
生：（男生）竖着都是加10。
师：他还关注到了竖着都是加10，好，请坐。看一看对不对，5 - 15、15 - 25、25 - 35，65 - 75，是不是每次都是加10？哎，人家还关注到了这个里面每次加10，这20、30，这是不是更每次加10了，更好看了啊？哎，竖着看，我们还发现了每次都加10。那受这个启发，我就又想到了，想到了什么？那你看啊，如果要是跳着看呢？哎，跳一个，那就是每次都加20。那要跳两个呢？哎，又有了不同的发现。还有不同的吗？
生：就是5到95这个地方，它后面这个数的话，它都是5，然后呢，10到100的这个地方的时候，每个后面每个数字都是0。
师：好，请坐。哎，他好像又发现了一条规律，他说的规律你们发现了吗？发现了哈。但是他的描述不够数学化，谁能用数学的语言来说一说，他刚才所表达的吗？他刚才怎么说的呀？5的这一列后边都是5啊，10的那一列后边都是0。谁能用数学的语言来表达？当然你的前后也是数学语言，但在我们的数里面就不能说前后了。
生：五至九十五的后面都是五，十至一百后面都是零。
师：和他表达的一样，有不同的表达吗？
生：（小姑娘）第5列它的个位都是5，第10列它的个位都是0。
师：和你们的意思一样吗？小伙子，和你说的一样吗？刚才发言那小伙子，他说这个和你说的一样吗？不一样，表达的意思一样吗？
生：表达的意思一样。
师：意思一样，她用了一个什么词？个位。哎，刚才你用的什么词啊？
生：后面。
师：好，请坐。在数字里面的时候，我们就不说后面了，我们说个位啊。那我们观察一下，5的这一列个位都是5，然后10的这一列个位都是0。哎，那么同学现在是不是发现了，那5的倍数具有这些特征，对吧？想一想，我们都发现了哪些特征呢？等一会让你说，每次都加5，反着看还减5，哎，竖着看每次还都加10，还有可能加20，对不对？哎，然后刚才那个同学又发现了，它的这个叫什么，个位都是5或者是0。他说他还有发现，你还有什么发现？
生：就是5的这一列都是奇数，10的这一列就是5的这一列都是奇数，10的这一列都是偶数。
师：哎，他还给我们提供了一个新的名词，我告诉你，刚才你所说的那个名词啊，我们今天就要学习到，他刚才提那名词叫什么？奇数和偶数。这奇数和偶数啊，待一会我们再说，好吧。嗯，行。那我们先关注一下，这是5的倍数。那现在我们把5的倍数特征研究完没有？你们还有发现吗？还有发现吗？没有了啊，研究完了，对不对？
师：研究完了，而且我们同学已经找到了这么多特征。那现在啊，我该考考你们了。这儿有一个数，它是不是5的倍数？
生：嗯，我想应该不是。
师：你想应该不是，这怎么叫还你想应该不是，我们的回答应该回答的是是和不是。
生：不是。
师：你说不是就不是，说来小姑娘，为什么呢？
生：因为它跟我们发现的，呃，它的个位不是5或者0。
师：哎，你看人家是不是有理由了，她应用到了我们刚才发现的规律，对不对？
生：对。
师：这回你们应用的是哪个规律来判断它是不是呢？
生：个位。
师：个位也不是5，也不是0，所以你就说它不是，对吧？那你们怎么不应用这加5这个呢？这加5这个，刚才那个小姑娘就发现了啊，这小姑娘一应用这个来说的，为什么不用这加5的呢？
生：因为加5的，这样子加的太麻烦了。
师：但是，如果我们要用加5加5加5再加5去试的话，是不是也能够检验出来？只是太麻烦了，数学得追求简洁，对吧？那我再出一个数，是不是5的倍数？
生：是，因为它的个位是5。
师：同意吗？
生：同意。
师：谁知道他是用哪个来判断的？他是用哪个来判断的？
生：个位。
师：因为他的个位是5，所以他是5的倍数。这个，你们怎么没用这个加10加10加10的呢？这加10总加得快一点了吧，为什么不用那个？
生：因为加到后面会发现多出了5。
师：多出了5，怎么多出了5，我没明白，你说的多出了5？
生：加到第13个10之后，我就会发现变成130，比125多了5。
师：谁明白他的意思？你明白他什么意思？
生：意思就是他一共是125嘛，然后呢如果运用每个都是加10的话，如果你加了13个的话，你就是加到130，然后呢你就会发现比125又多出了5。
师：好，请坐。我明白这意思，你要加12次的话哈，哎，就是加到12的时候就是120对吧？哎，然后再多加一个10，那就变成130。那是你选的数不对，要选95加呢，下一个是多少？
生：105。
师：95 + 10等于多少？
生：105。
师：再加？
生：105 + 10 = 115，115 + 10 = 125。
师：还多你的5吗？哈，那也就是我们选择的不同，但是你想这样加起来，和刚才我们用个位上是5来判断相比，哪个更简单呢？
生：个位是5的方法更简单。
师：用个位是5的方法来判断更简单，对不对？对，哎。那我们同学啊，通过刚才的方法，我们发现了5的倍数好像有特征，而且你们最喜欢用的是哪个特征啊？它的个位怎么样？
生：个位是5或0就是5的倍数。
师：对吧？现在这个研究出来没有？
生：研究出来了。
师：同意了吗？
生：同意。
师：我不同意，谁知道我为什么不同意？没有人知道刚才我们研究这内容，我们用什么去研究的？
生：百数表。
师：我们只研究了多少个数？
生：100个数。
师：那100后面的那些数你们想了吗？是不是我这只是出了两个100后面的数，所以，如果我们要说5的倍数个位上是0或者5，那我们只能说100以内的这些都是，100以外的，你们连看都没看呢。所以当我们研究出来呀，我们还得追问自己一句，那也就是都这样吗？后面的这些数都这样吗？当我们有了想法之后怎么办呀？
生：得举例子试试。
师：自己再举一些例子试一试，看一看100以后的也都有这个特征吗？自己举例试一试，速度快一点。
（学生举例）
师：啊，这个同学在连着举啊，他举105、110，哎，可以，那能不能扩大一点呢？嗯，能不能把步子放得再大一点？你这数是5的倍数吗？是不是5的倍数，是不是得用它去除以一下5啊？哎，除以一下5，看看它得那个是不是整数。不，你举这数够大啊，不错。好了好了，哪个同学来举个例子？好了，谁来说一说你举的例子是什么？
生：（小姑娘）我举的例子是1245。
师：你的结论，它是不是5的倍数？
生：是。
师：你怎么知道它是？
生：呃，我第一个线索是它的个位是5，嗯，我拿它除了一下5。
师：对，除以5结果等于多少？
生：没算完。
师：没算完那你就敢说它是啊？那你嗯，那这不行，咱们同学快速地帮她算一下1245÷5等于多少？这儿商几？
生：2，五一十，余2，24这儿商4，四五二十，45这儿商9。
师：是不是正好除尽？
生：是。
师：那它是不是5的倍数？
生：是5的倍数。
师：好，坐。来，你说说你的。
生：呃，比如110。
师：他举了一个例子110，咱们先判断是不是5的倍数，待会再说2的事好不好？它是5的倍数吗？
生：是。
师：怎么判断的？
生：它的个位是0。
师：不对，这样判断不可以，因为这句话我们现在还不敢说它对呢，对不对？我们现在验证一下后面的情况，谁说说那这110怎么判断，它到底是不是5的倍数呢？怎么判断？