师：同学们，我们在七年级学过整式的加减，例如像 a 方加 2A 方等于 3A 方这样的运算。利用整式的加减可以解决很多问题，但是随着我们的阅历更加丰富，整式的加减就不再够用了。比如说今年 5 月份，我们国家刚刚成功发射了神舟十六号载人飞船，那我们一起来看一下当时的盛况。
师：十、九、八、八、六、六、五、五、四、四、三、二、二、一，点火，发射！10 、9 、8 、7 、6 、5 、4 、3 、2 、1 ，0 窗口，逃逸塔分离，助推器分离，整流罩分离，船箭分离，太阳能帆板展开，工况正常。
师：神舟十六号载人飞船的成功发射，意味着我国建立中国空间站有了更加坚实的基础。那我们已经知道飞船飞行的速度约为 7.9 乘以 10 的 3 次方米每秒。如果按照这个速度飞行 10 的 4 次方秒的话，那飞船飞行的距离是多少米呢？哪位同学给老师列一下算式？好，来，这位男生。
生：这个算式根据速度公式，应该是飞行速度乘以飞行时间，就是 7.9 乘以 10 的 3 次方每秒，再乘以飞行时间 10 的 4 次方秒。
师：也就是说算式是 7.9 乘以 10 的 3 次方，乘以 10 的 4 次方，很好的列式。好，那这个算式的结果是多少呢？它该如何运算呢？没关系，大家可以先不用着急写。那你发现这个运算好像是我们从来没有接触过的一种类型，是不是？其实老师可以告诉大家，它就等于 7.9 乘以 10 的 7 次方。好，那大家要思考一个问题了，为什么 10 的 3 次方乘以 10 的 4 次方等于 10 的 7 次方，以及它们之间有怎样的联系呢？好，虽然它是很简单的题目，但是它却是一种我们刚刚说了我们没有接触过的运算类型，能不能通过观察来告诉老师这是种什么类型的运算啊？
生：嗯，整数，整式的乘法，同底数内相乘指数就底数不变指数相加。
师：乘 10 的 3 次方乘 10 的 4 次方是什么类型的运算？整式乘法？整式乘法能不能再说得详细一点呢？嗯，首先很好，他说到了这个是什么运算？乘法运算。好，然后我们再来观察一下两个因数。首先来说一下是什么运算呢。好，那我问一下大家这 10 的 3 次方和 10 的 4 次方，这是两个，两个，这是乘方。10 的 3 次方是 10 个 3 个相乘，对不对啊？那乘方运算的结果，我们看乘方运算的结果，我们把它读作乘方结果的时候，他还可以读作 10 的 3 次幂，对不对啊？也就是说 10 的 3 次方和 10 的 4 次方是两个幂，对不对？好，那再换句话说，这个乘法运算就是什么东西在相乘，幂，两个幂在相乘，而且这两个幂是有特点的，你问他一下什么特点。
生：噢，他的这个。
师：底数是相同的，非常好。那你能不能来？你再说能不能告诉大家，你再完整的说一下它是个什么运算？
生：同底数幂的乘法。
师：非常好，请坐。好，这个是两个幂相乘，而且是两个底数相同的幂相乘，就在简而言之就是同底数幂相乘。那同底数幂相乘显然不是我们的整式加减，那它应该是整式的什么乘法，对不对？好，也就是说像我们有理数就有加减乘除 4 种运算，而我们的整式当然也是有的。好，那从今天开始，我们就从同底数幂的乘法作为引入来逐步学习整式的乘法。
师：说到这个幂，我们先来回忆一下乘方的意义。好，第一个问题，a 的 n 次方它是什么意义？
生：a 的 n 次方，就是 n 个 a 相乘。
师：非常好，n 个 a 相乘。下一个问题，a 的 n 次方的各个部分的名称。
生：a 它是一个底数，n 它是指数。
师：a 是底数，n 是指数。
生：整个可以看成是幂。
师：非常好，请坐。好，那我们现在有了乘方的意义，我们就可以回到刚开始的这个大家觉得有那么一点点小困难的这个题目，10 的 3 次方乘以 10 的 4 次方。要想解决这个问题，我们学了这么多年的数学了都知道我们要想解决一个问题，必须要把未知变为已知。很好，那我们现在已经知道的是什么呀？我们刚刚复习的是乘方的意义，很好。那现在不知道的是什么东西？不知道的是什么？这是什么运算呀？刚才说到这是什么运算？刚才这位男同学说这是什么运算啊？
生：同底数幂的乘法。
师：好，那接下来我们就要用乘方的意义来解释一下，10 的 3 次方乘以 10 的 4 次方为什么等于 10 的 7 次方？好，来，这位女同学。
生：因为 10 的 3 次方等于 3 个 10 相乘，10 的 4 次方是等于 4 个 10 相乘，那么他们一共是 7 个 10 相乘，所以是 10 的 7 次方。
师：非常好，请坐，他说的对不对？有没有问题？现在我们就清楚了，原来是这么回事儿。好，接下来请大家按照类比老师给出的这个例子，然后来解决下面这 3 个运算。好，思考一下，来，第一个谁。
生：2 的 5 次方乘 2 的 2 次方是 2 的 7 次方。
师：中间类比上面这块。
生：2 的 5 次方是 5 个 2 相乘，2 的 2 次方是 2 个 2 相乘，加起来就是 7 个 2 相乘，就是 2 的 7 次方。
师：非常好，请坐。下面这个。
生：a 的三次方就是 3 个 a 相乘，a 的二次方是两个 a 相乘，加起来就是 5 个 a 相乘，所以是 a 的 5 次方。
师：非常好，请坐。来最后一道。
生：5 的 m 次方乘以 5 的 n 次方就是 m 个 5 相乘，加上 n 个 5 相乘就是 m 加 n 个 5 相乘，所以是 5 的 m 加 n 次方。
师：对的，好好做，很好。那么做了那么多，大家来思考三个问题啊。第一个问题，上述三个运算是什么运算？来一起说。
生：同底数幂的乘法。
师：对，同底数幂的乘法。好，第二个问题，它的积的各个部分与因数的各个部分有什么样的关系？它的积的各个部分与因数的各部分，大家来说。
生：它的因数，因为它的因数的底数不变，那个指数相加。
师：好，我们具体来看一下，比如说最后这个 5 的 m 次方乘以 5 的 n 次方，等于 5 的 m 加 n 次方，我们可以看到底数，来再说一下底数。
生：嗯，是底数不变，指数相加。
师：很好，剩下的两个也是。
生：底数不变，指数相加。
师：非常好的，请坐。好，那我们发现了就是同底数幂相乘，然后它的结果是底数不变，指数相加，有没有问题？好，那你能不能再给老师举一个例子？一样的可以直接说出结果来。
生：a 的 3 次方乘以 a 的 5 次方等于 a 的 8 次方。
师：非常好，请坐。
生：3 的二次方乘 3 的 8 次方等于 3 的 10 次方。
师：你好，这位男生。
生：6 的 4 次方乘以 6 的 6 次方等于 6 的 10 次方。
师：还有吗？能不能取点不一样的来？彤彤。
生：a 的 4 次方乘以 a 的 6 次方等于 a 的 10 次方。
师：好，举了这么多，我觉得这两个举得还挺好的，为什么呢？大家看一下它的底数是一个字母，对不对啊？我们用字母代替数有什么好处啊？那是不是就相当于是概括了？比数的各个情况都概括在一起了，对不对？好，那你们再举一个例子来，这位同学。
生：m 的 n 次方乘 m 的 x 方等于 m 的 n 加 x 次方。
师：n 加 x 次方，非常好，这个才更棒了。是不是他不但把底数换成了字母，还把整数也换成了字母？那他是不是基本上就囊括了同底数幂乘法的所有的形态？好，但是我还想问这个同学一个问题，那你举的这个例子里面这个 n、x，还有 n 加 x，你觉得对它的这个取值范围有没有什么要求呢？
生：应该都是正整数。
师：非常好，这个 n、x 必须得都是正整数，很好，请坐啊。
师：我刚才说这个非常好，因为它其实就是我们今天要学习的同底数幂的乘法公式了啊。那为了方便起见，老师把字母给它换一下，换成 a 的 n 次方乘 a 的 m 次方等于 a 的 n 加 m 次方。但是这些我们举了这么多例子，它是怎么出来的？是不是就是我们根据刚才发现的规律总结归纳出来的？那它只能当做是一个猜想，是不是？现在我们还不能说它是就是对的。好，那你觉得应该怎么办啊？通过严格的推理去证明是不是？好，那接下来给大家 30 秒的时间来想一下如何证明 a 的 m 次方乘 a 的 n 次方等于 a 的 m 加 n 次方啊？你可以自己共同写一下啊。
师：好，我看很多同学都已经写出来了，哪位同学来告诉大家你是怎么想的？唉？那个你起来。
生：我是先把 a 的 n 次方展开成 a 乘 a 乘一直乘到 a ，一共 n 个 a 。这是 n 个 a 相乘，是吧？对。然后 a 的 m 次方就是 a 乘 a 乘 a 一直乘 m 个，然后乘 m 个 a ，然后，然后 n 个 a 加上 m 个 a 就等于 a 的 m 加 n 次方。