师：上课，起立！
生：老师好！
师：同学们好，请坐。请同学们回顾一下，我们在研究三角形性质的时候，是从它的哪些方面入手的呢？好，那位女生，请你来回答。
生：在之前的研究中，我们都是根据三角形的边跟角，来分别进行研究的。
师：三角形的角有什么样的性质呢？
生：三角形的内角和为180度。
师：这是三角形的内角和定理。那么它的边呢？
生：三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
师：非常好，请坐。我们知道，等腰三角形是特殊的三角形，它除了具有三角形的一般性质之外，还有特殊的性质，比如它的角上是两底角相等，那它的边有什么特殊的性质呢？
生：两腰相等。
师：两腰相等。直角三角形也是特殊的三角形，那么它的角有什么特殊的性质啊？
生：有一个角是90度，直角三角形的两锐角互余。
师：直角三角形的三边之间，有什么特殊的数量关系呢？这就是我们本节课要研究的问题。相传在2500年前，毕达哥拉斯去朋友家做客的时候，从朋友家地砖图案上，惊喜地发现了直角三角形三边之间的数量关系。下面我们也来观察一下这个地砖图案，你能从中发现直角三角形的三边之间的数量关系吗？同学们可以在学案上画一画、想一想。有没有哪位同学可以上台，跟大家分享一下你的发现呢？好，你来回答。
生：首先，在这个图像上找一个直角三角形，我们可以发现这是一个等腰直角三角形，比较特殊。等腰三角形的两条较短边，与阴影部分正方形的边长相等，等腰三角形的较长边，与这个大正方形的边长相等。然后，同时将这三个正方形划分成几个小三角形，同样也是等腰直角三角形，会发现这个等腰直角三角形与这些小等腰直角三角形全等。然后我们就可以再看一下这三个正方形，发现这个大正方形，可以划分成四个小的等腰直角三角形，而这两个小正方形，只能画成两个小的等腰直角三角形。通过发现，这四个小的等腰直角三角形，刚好跟这个大正方形画成的等腰直角三角形数量相同。小正方形的面积，是由两个小的等腰直角三角形组成，有这样两个小的正方形，跟下面大正方形里面所有的等腰直角三角形的个数是一样的。
师：这是正方形面积之间的关系，它如何反映直角三角形三边之间的关系呢？
生：因为正方形面积是这条边，也就是斜边的平方，小三角形所在小正方形面积是较短边的平方。
师：非常好，所以你发现了等腰直角三角形三边之间的数量关系是什么？
生：斜边的平方等于两直角边的平方和。
师：非常好，请回。通过刚才这位同学上台展示，我们可以发现等腰直角三角形三边之间的数量关系是什么？
生：两直角边的平方和等于斜边的平方。
师：也就是说，等腰直角三角形的三边关系是两直角边的平方和等于斜边的平方。刚才这位同学也说了，中间这个黄色的直角三角形是什么直角三角形？
生：等腰直角三角形。
师：等腰直角三角形是特殊的直角三角形，那如果你是毕达哥拉斯，你发现了特殊的直角三角形三边之间有这样的数量关系之后，你还会研究什么问题呢？
生：这种现象是不是具有普遍性。
师：是不是普遍性的，也就是说，我们由特殊去思考到一般的直角三角形三边之间，是否还存在这种数量关系。为此，老师在网格纸当中，改变了直角三角形的三边长，现在我们要寻找的就是这个直角三角形三边平方之间的等量关系。提到线段的平方，你能联想到什么？
生：正方形的面积。
师：由此我们可以向外做正方形，以直角三角形的三边长向外做三个正方形。那么现在你能快速的告诉我，正方形A的面积是多少吗？
生：9。
师：B的面积呢？
生：16。
师：那C的面积是多少？如何计算C的面积呢？现在我们开始小组活动，讨论如何计算正方形C的面积，可以将你的计算过程书写到学案的左侧。好，现在活动开始。
（学生小组讨论）
师：哪一组的同学可以上台展示你们的成果呢？好，这位女同学。
生：我们组的想法呢，是把这个正方形C补成一个大正方形。
师：老师想问一下，为什么要把它补成一个大正方形呢？
生：因为这样子的话，我们可以很直观地看到这个大正方形的边长，能将正方形C转化成可以轻松求得面积的一个大正方形。
师：这个轻松体现在哪？
生：因为咱们可以看出来，这个三角形的两条直角边，一个是3，一个是4，咱们可以得到这个三角形的面积是6。这四个直角三角形的面积是一样的，因为它们的斜边的长是一样的，并且这个大正方形的边长，等于两个小正方形边长的和。这个直角三角形的边长，一个是3，一个是4，而且还有一个直角，说明这两个三角形全等，所以它们的面积也是相等的。所以说这四个三角形的面积都是6，大正方形的面积是49。我们算正方形C的面积的话，只用拿49减去这四个三角形面积的和，就可以得到了，所以应该是49减去24。
师：49减24等于25。所以我们可以得到，A的面积是9，B的面积是16，它们俩的和等于25，也就是我们大正方形C的面积。非常好，请回。刚才这位同学呢，他是利用了补的方法，求出了我们大正方形C的面积。那还有没有其他的方法来求C的面积呢？好，那位男生。
生：我们小组讨论出来了，我们可以用割的方法来求解。我们将这个大正方形通过割的方法，得到了四个全等的直角三角形和一个边长为1的小正方形。通过数格子，我们可以简单明了地看出来这四个直角三角形，它们的两条直角边分别是3和4，我们就可以求出来这四个全等直角三角形的面积是4×3×2÷4 = 24，再加上中间这个边长为1的小正方形面积，就可以得出来正方形C的面积是25。所以我们的结论仍然是9 + 16 = 25。
师：非常好，请回。通过大家的展示，我们知道正方形A、B的面积之和，是等于大正方形C的面积，那它反映了这个直角三角形三边之间的数量关系是什么？
生：两直角边的平方和等于斜边的平方。
师：现在，请同学们独立完成学案当中的图案。我找个同学来说一下图2当中的表格，你是如何填写的。好，这位男同学。
生：我填的是，A的面积是4，B的面积是9，C的面积是13。
师：你是通过前面两个数的和直接得到的13，还是如何求大正方形C的面积呢？
生：就是用割或补的方法来求这个C的面积。
师：非常好，这位同学能够活学活用，请坐。那我们来看一下图2当中，小正方形的面积是4，B的面积是9，通过割补法得到C的面积是13。通过前面的这些例子，我们可以发现直角三角形两直角边的平方和，确实等于斜边的平方。那如果直角三角形的两条直角边分别为1.2个单位长度和1.6个单位长度，上面所猜想的数量关系还成立吗？说明你的理由。大家可以再仔细地想一想，有困难吗？有困难的话，我们可以小组之间互相讨论，看能不能找到理由。
（学生小组讨论）
师：有结论了吗？孩子们。好，这位女同学。
生：我认为上面所猜想的数量关系是还成立的。
师：理由是什么呢？
生：因为它的两条直角边分别是1.2个单位长度和1.6个单位长度，1.2的平方是1.44，1.6的平方是2.56，它们的平方和是等于4。
师：第三边呢？
（该生组内成员补充）
生：我们先把这个数据代入到这个直角三角形中，对比发现正方形A的边长小于正方形B，所以A应该是1.2个单位长度。假设网格一格的单位长度未知，把这两个数据代入上去，求出一格的单位长度。1.2个单位长度，说明每一格长度应该是0.4个单位长度。B的边长在这里是1.6个单位长度，1.6刚好有4个0.4。然后我们还可以借助刚才的割补法，来求出正方形C的面积。