师：同学们，上课。
生：起立，老师。
师：好，同学们好，请坐。同学们，平面图形是我们初中几何研究的重要内容。从下面这组图片中，你能抽象出哪些平面图形呢？哪位同学愿意说一说？刘思涵。
生：我可以从第一个图形中抽象出线段，从第三个图形中抽象出三角形，从第四个图片中抽象出四边形。
师：请坐。还有同学要补充吗？刘笑笑。
生：我可以从第二个图形中抽象出角，还可以从第四个图形中抽象出圆。
师：请坐。同学们的抽象能力很强。在以上这些图形中，哪些是我们初中已经学过的呢？
生：角。
师：角。那你觉得接下来我们会研究哪种图形呢？
生：四边形。
师：为什么大家感觉研究完三角形就要研究四边形呢？实际上，这已经默认了研究问题要遵循从简单到复杂的规律。那我们要研究四边形的哪些内容，又该如何研究呢？三角形和四边形都是基本的几何图形，它们的研究内容、研究方法是相似的。这给你什么样的启发？
生：王子墨，我们可以看三角形的研究内容，以及它是如何研究的，然后类比三角形来学习四边形。
师：好，请坐。人类的智慧表现在用相同的方法研究不同的问题。那么，对于三角形，我们研究了哪些内容呢？
生：三角形全等。
师：请坐。这是两个三角形之间的关系，有没有关于一个单独三角形的内容呢？
生：三角形的高、中线和角平分线。
师：还有吗？侯佳晨。
生：三角形的定义，以及它的边和角。边和角是三角形的要素，三线是它的相关要素。
师：同学们说的这些是三角形的基本概念，还有吗？
生：等腰三角形中，三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
师：这是关于边长之间的数量关系，请坐。还有吗？霍新宇。
生：三角形的内角和是180度，三角形的外角和是360度。
师：请坐。这是三角形角之间的数量关系，同学们说的这些是三角形的要素之间的数量关系，也就是它的基本性质。还有其他的内容吗？
生：我觉得还有勾股定理。
师：请坐。这位同学把三角形的研究指向了特殊的三角形——直角三角形。还有其他特殊的三角形吗？
生：等腰三角形。
师：对，我们分别把角和边进行特殊化，得到了新的研究对象，直角三角形、等腰三角形以及更特殊的等边三角形。从三角形的研究过程中，我们能够发现，我们先研究一般的三角形，再去研究特殊的三角形。所以几何图形的研究遵循了从一般到特殊的规律。现在我们聚焦等腰三角形，大家回忆一下，等腰三角形我们学习了哪些内容呢？
生：乳发药，我们学习了等腰三角形的定义，有两条边相等的三角形叫等腰三角形。我们学习了等腰三角形的性质，等边对等角、三线合一。我们还学习了等腰三角形的判定，等角对等边。
师：这位同学总结得非常全面，还有根据性质和判定在实际生活中进行的应用。我们知道图形的性质是研究它的要素和相关要素之间的数量关系以及位置关系。你能用等腰三角形的性质解释一下吗？刘思涵。
生：在等腰三角形中，它的要素是边和角，它的相关要素是三线。我们研究等边对等角的时候，研究的就是要素边角之间的数量关系；三线合一是它相关要素，三线包括底边上的高、中线，还有角平分线，研究它们之间的位置关系。
师：请坐。这位同学对图形的性质理解得非常透彻。以上是三角形的研究内容和路径。同学们，对于四边形，根据以往的经验，你觉得我们将研究哪些内容呢？定义、性质……类比让我们明确了研究方向。在以上这些内容中，哪些是我们已经知道的呢？
生：加成一，我们已经知道了四边形的概念，也知道了四边形的内角和是360度，四边形的外角和也是360度。
师：请坐，说得非常全面。那大家觉得接下来我们会研究什么呢？
生：特殊的四边形。
师：特殊的四边形在生活中无处不在，有哪些物体给你特殊四边形的形象呢？一哲哈。
生：前面的黑板。
师：能抽象出什么图形？
生：能抽象出长方形。
师：好，请坐。还有吗？
生：我觉得魔方能抽象出正方形。
师：魔方是一个立体图形。
生：魔方的一个面能抽象出正方形。
师：这样就非常准确了。请坐。还有吗？王一凯。
生：小区的停车场里，有的停车位可以抽象出平行四边形，还有的可以抽象出长方形。
师：请坐。这位同学非常善于观察。还有吗？侯佳晨。
生：我觉得五菱宏光的车标可以抽象出菱形。
师：请坐。刚才大家用数学的眼光发现了生活中特殊的四边形，有长方形、正方形、平行四边形，还有菱形。那我们应该先研究哪一种图形呢？平行四边形。为什么？王子墨。
生：我觉得可以研究平行四边形。因为三角形的学习就遵循了从一般到特殊的原则，所以说平行四边形也应该这样，先研究一般的平行四边形，然后再研究特殊的平行四边形，就比如说长方形、正方形，还有菱形。
师：请坐。英国哲学家培根曾经说过，类比联想支配发明，这位同学非常善于利用类比。那么平行四边形我们要研究哪些内容呢？平行四边形是特殊的四边形，我们应该和以前学过的什么图形进行类比呢？
生：和三角形，直角三角形和等腰三角形。
师：这给你什么样的启发？
生：我们可以按照等腰三角形和直角三角形的学习过程，类比学习平行四边形。
师：请坐。等腰三角形、直角三角形我们学习了哪些内容？所以平行四边形的研究内容会是什么？在小学的时候我们已经认识了平行四边形。你能描述一下什么样的四边形是平行四边形吗？你来说。
生：两组对边平行。
师：请坐。侯佳晨。
生：老师，我觉得应该是两组对边分别平行。
师：请坐。所以平行四边形的定义就是两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。请同学们打开课本，在课本上画出平行四边形的定义，请同学们把定义齐读三遍。
生：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
师：我们再来思考这个定义，两组对边分别平行，指的是要素关系的特殊化。四边形是基本图形，这种要素关系的特殊化加基本图形的定义方式，在后期特殊平行四边形的定义中也会经常见到。得到了平行四边形的定义，该怎么样去表示平行四边形呢？
生：a b c d。
师：我们当时在学习三角形的时候，是用画了一个小三角形加上三个顶点的字母来表示它，如果类比三角形来看的话，我们现在来表示平行四边形，应该画一个平行四边形符号，加上四个顶点的字母来表示。你能上来写一下吗？
生：（同学上台书写）
师：这位同学是用一个具有平行四边形的图形符号加上它各个顶点的字母，这种表示方式形象并且准确。老师提醒一下，在书写时，四个字母要按照顺时针方向或者逆时针方向来书写。该怎么读呢？
生：平行四边形a b c d。
师：我们知道定义既可以作为性质，又可以作为判定。作为性质该怎么理解呢？霍新宇。
生：平行四边形的两组对边平行。
师：这是它的文字语言，那符号语言呢？
生：AB平行于CD，AD平行于BC。
师：性质是一个命题，既要有条件，又要有结论。哪位同学能帮霍新宇完善一下？李凤岩。
生：因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB平行于CD，AD平行于BC。
师：作为判定呢？
生：因为AB平行于CD，AD平行于BC，所以四边形ABCD是平行四边形。
师：这位同学对定义理解得非常深刻，请坐。接下来我们就深入研究平行四边形的性质。我们应该从哪些角度去研究平行四边形的性质呢？艾健。
生：老师，我们可以类比等腰三角形的性质，等腰三角形是研究边角三线之间的数量关系、位置关系，平行四边形的性质也应该研究它的要素和相关要素之间的数量关系和位置关系。
师：能再具体一些吗？平行四边形有哪些要素和相关要素呢？