师：数学的奥妙是无穷的，折纸这一项发源于中国的手工艺术，因数学的介入而蓬勃发展。数学折纸是一种与数学科学紧密结合的折纸活动，数学折纸中产生的图形结构在生活中具有多种应用可能。在太空探索中，运用折纸方法能够使太阳能板被折叠到尽可能小的状态，装进狭小的火箭里，送入太空后再展开。我国的天舟2号货运飞船使用的可折叠太阳能板、国际空间站上的太阳能阵列机翼、凤凰号火星探测器用的扇形太阳能阵列，都用到了这一方法。除了折叠，几何中常用的图形分割和拼接方法，也被应用于航天器中。詹姆斯·韦伯太空望远镜的主反射镜口径达到6.5米，为了把它送上太空，科学家们把整个镜面切分成18块镜面，然后两边折叠起来塞到火箭里，到达目的地后再展开拼成主镜面。折纸艺术可以帮助我们实现一些设想，这个过程需要许许多多的数学建模和实验。希望同学们通过自己的想象和探索，在拼剪折的快乐中赏图形之美，悟数学之道。
师：上课！
生：起立！老师好！
师：同学们好，请坐。今天我们继续进行平行四边形的复习。通过上一节课的复习，我们已经理清了四边形、平行四边形以及特殊平行四边形它们之间的从属关系，夯实巩固了它们的概念、性质以及判定。今天我们将运用这些知识来解决问题。解决哪些问题呢？请同学们先看一个小视频。
（播放视频：如何把一个正方形变成等边三角形呢？著名趣题大师亨利·杜德尼给出了一种完美的解答，除了剪拼正方形，折叠正方形也能得到等边三角形）
师：通过刚才的视频我们发现，正方形可以通过剪拼和折叠得到等边三角形。那反过来，三角形怎样通过拼、剪、折得到我们熟悉的平行四边形，甚至是更加特殊的平行四边形呢？就让我们带着这个问题开启今天的数学之旅。首先进入我们今天的第一个环节--拼中辩。用纸板剪成的两个全等三角形能够拼成平行四边形吗？可以拼出几种？平行四边形又应该怎么拼？
生：三种。
师：眼见为实，我们动手试试看。请各位小组长打开1号信封，取出里面的全等三角形，小组合作试一试。
（一组同学上台用老师的三角形拼图并贴在黑板上）
师：很好，谢谢你们的配合，请回。好，请同学们停下手中的操作，我们一起来看黑板。刚才这组同学一共拼出了三种平行四边形，你们是这样拼的吗？
生：是。
师：好，那老师想请问我们的小组代表，你是怎么拼的呢？
生：我是将两组相同的边拼接在一起组成一个平行四边形。
师：说得非常好，请坐。这位同学观察得非常仔细，我们将全等三角形的对应边重合在一起，可以拼出平行四边形，当然我们也可以拼出筝形。那你们能证明它们是平行四边形吗？
生：可以。
师：如何证明？好，请这位男生说。
生：由于这两个三角形是全等三角形，所以AB就等于A'B'，角BAC就等于角B'A'C' ，然后所以说就可以通过四边形的判定中两对边平行且相等，就可以证明它是平行四边形。
师：这位同学观察得非常仔细，立马通过全等三角形找到突破口，他发现这组对应角从位置上看是内错角相等，我们就有两直线平行，从而可以利用一组对边平行且相等证明它是平行四边形。还有其他的证明方法吗？好，这位女生你来说。
生：因为判定这两个是全等三角形，所以它的角B就等于B'，角A也等于角A'，角C也等于角C' ，角BAC等于角B'A'C'，所以这组对应角也相等，所以这个三角形它就可以组成一个平行四边形。
师：你利用的判定方法是两组对角分别相等。两组对角分别相等的四边形是平行四边形，你们同意吗？
生：同意。
师：说得非常好，请坐。还有其他的证明方法吗？那位男生请你说。
生：首先因为三角形ABC与三角形A'B'C'是全等三角形，所以AB等于A'B'，BC等于B'C' ，我就根据平行四边形判定中的两组对边相等，得出这个四边形是平行四边形。
师：说得非常好，语言很流畅，请坐。刚才我们通过这个问题再一次复习了平行四边形的判定方法。我们可以从边、角，当然我们还可以从对角线来判定一个四边形是平行四边形。通过刚才的活动，我们发现并证明了任意的两个全等三角形都可以拼出平行四边形。那如果我想要拼的是一个矩形，同学们认为我们需要两个什么样的全等三角形呢？
生：直角三角形。
师：为什么？
生：因为有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以我们要拼出矩形需要两个全等的直角三角形。
师：说得非常好。如果我想要拼的是一个菱形，又需要两个什么样的全等三角形呢？
生：等腰三角形。
师：理由是？
生：有一组邻边相等的平行四边形是菱形，所以需要两个全等的等腰三角形。
师：如果我想要拼的是一个正方形，同学们能一起告诉老师，我们需要两个什么样的全等三角形吗？
生：等腰直角三角形。
师：是的，正方形既是矩形又是菱形，有了前面两问的思考，这里就迎刃而解。看来同学们对这些图形的概念、性质以及它们之间的关系都辨析得非常清楚。那么接下来进入我们今天的第二个环节--剪中思。
刚才我们是将两个全等三角形拼出平行四边形，那现在如果老师只有一个三角形，我想将它沿一条直线剪开，注意我们只剪一次，是不是能够得到两个图形，我再将这两个图形拼起来。如果我想拼出平行四边形，你们认为我应该怎么剪呢？
生：我觉得可以沿三角形ABC的中位线剪开。
师：你为什么会想到中位线？
生：因为中位线它平行于底边，并且等于底边的一半。
师：也就是说你想利用中位线构造平行线，是吗？那平行四边形有什么性质？
生：平行四边形的对边平行且相等。
师：这么看来，如果我们沿着三角形的中位线剪开，就有可能可以拼出平行四边形，是这样想的吗？好，说得非常好，请坐。那么我们沿着三角形的中位线剪开，有没有可能拼出平行四边形呢？
生：有可能，可以。
师：好，有的同学非常肯定，有的同学有一些疑惑。没关系，我们动手试试看。请各位小组长打开2号信封，小组合作试一试，用剪刀沿着这条中位线把它剪开，试一试应该怎么拼。
（小组合作探究，一位小组代表上台在黑板上拼图）
师：你认为这就是平行四边形是吗？
生：对。
师：非常好，谢谢你的配合，请回。为了让同学们能够看清刚才这位同学的操作，我们用动画再演示一遍。刚才我们将三角形ABC沿着它的中位线DE剪开，然后将三角形ADE绕点E旋转了180度。因为角CEF等于角AED，我们发现角DEF是个平角，也就是说D、E、F三点共线，因此我拼出了四边形DBCF。刚才这位同学认为这个四边形就是平行四边形，你们同意吗？
生：同意。
师：为什么？为什么我这样剪、这样拼得到的就是平行四边形呢？哪位同学来说一下？好，请你来上台说一下。
生：首先我们可以根据中位线的性质得知DE等于1/2的BC，然后因为我们剪拼的原因，DE一定要等于EF，所以我们由此可知DF是等于BC的。然后再因为中位线的另一条性质，中位线肯定平行于BC边，所以DE是平行于BC的，所以我们可以根据平行四边形一组对边平行且相等的性质判定它就是个平行四边形。