师：同学们，你们好！
生：老师好！
师：请坐。今天，老师给同学们带来了一道数学问题，就在黑板上。如果这个长方形代表12平方米，把下面的问题读一遍。
生：把12平方米平均分成两份，求其中的一份是多少。
师：怎么样，这个问题难不难？
生：不难。
师：你们猜，这是我们几年级就已经学过的问题？
生：三年级、二年级。
师：对呀，我们很早很早（long long ago）就已经解决过的问题，怎么算呢？
生：12÷2 = 6。
师：谢谢同学们把我们带回了二年级。12÷2 = 6平方米，但是咱们现在几年级了？
生：五年级。
师：对啊，请你用五年级的眼光来看这里，仔细想想。那么这个问题除了可以用12÷2来解决，你还有没有不一样的算式，也可以来解决这个问题呢？用上你五年级的水平。袁老师喜欢看到积极举手的手势。
（一个男生手举得高高的，自己站起来）
生：可以用12乘以1/2。
师：再说一遍，让所有的同学都听到。
生：12乘以1/2。
师：同意吗？
生：同意。
师：你说一说，为什么你觉得可以用12×1/2来进行计算？
生：因为1/2，2个1/2等于1 ，1就是12，那12除以2等于6 ，6就是12的1/2。
师：哦，你是用算式来说明的，你想补充吗？
生：其实我有另一种算法。12乘以0.5，因为12乘以1就等于12 ，0.5是1的一半，也就是除以2。
师：听懂没有？先把掌声送给这两个今天第一个给我们发言的同学。袁老师特别喜欢跟你们这样学习，一个同学发表完意见以后，还有一个同学可以提出自己不一样的想法，对不对？都可以证明这两个算式最后计算出来的结果其实是一样的，非常好。那有没有同学可以借助一张纸，用折的方法，也让我们可以看到12平均分成两份，和12的1/2表示的意思是一样的呢？谁能在这张纸上折一折？来，小姑娘，一边折一边可以跟大家说一说。
生：如果要平均分成两份，可以这样子折，也可以这样子折。然后1/2的话，就是它的长度或者宽度除以2中间的位置，也是1/2，折起来都一样，就只有两种折法。
师：太棒了，你看，我看到很多同学都在点头，表示非常欣赏她的方法。她说可以这样平均分成两份，还可以怎么分？
生：竖着平均分成两份。
师：不管怎么样，我们看到的都是把12平方米平均分成了两份，表示了其中的一份，而这个，我们看到的就是我们熟悉的12的多少？
生：12的1/2。
师：谢谢同学们，原来我们用图形也可以帮助我们找到这两个算式之间的关系，是吗？
生：是。
师：对啊，你们看我，不要看这个屏幕，真人更好看一些。哈哈，好，那照这样，如果袁老师再写一个算式，我写的是12÷3和12×1/3 ，你觉得相等吗？
生：相等。
师：你能不能也像刚才这个女生一样给我们折一折，让我们看到它是相等的，并且告诉我们原因呢？很多同学都在自己的手里进行比划。再想一想，刚才这个女生平均分成两份，表示其中的一份，那现在这个式子，你要表达它是相等的。好的，这边已经有一个同学有想法了，我们等一等没有想法的同学，好吗？
生：好。
师：好，又有一个男孩子在这边举手了。看看其他的同学。好的，谢谢你，手举高一点，对，怎么样，有想法吗？来我们听一听，大家集体向这边转，我们眼睛看牢他。
生：其实这里说12平方米，它要除以3，意思就是说将这12平方米平均分成三份，而12乘以1/3，意思也就是将一个整份分成三份，取其中的一份，所以说其实它们俩的含义是一样的，再加上它们分的都是12平方米，因此这样就可以得出它们结果相等。
师：你们同意吗？
生：同意。
师：请把掌声送给他。既给我们讲清了他想怎么折，而且还告诉我们，原来这两个算式不论我们怎么看，都是想办法要把12平方米平均分成三份，表示其中的一份，三份中的一份用这两个算式来表示都是可以的。有意思吧？你看咱们二年级学的除法，用我们五年级的水平来看，就可以看到不一样的结果和算式，对不对？那么，请问我们二年级学的除法，除了12÷2、12÷3 ，还有吗？再说几个。
生：还有很多很多。
师：你能不能也举出这样的一个例子，找一找和它相等的算式，有没有也像刚才这些同学一样，说一说理由呢？来跟同桌伙伴说一说。
（学生讨论）
师：好，怎么样？你们举到这样的例子了吗？袁老师刚才参与了这个小组的学习，你刚才说的二年级的说法是16÷4，你回答五年级，咱们是6÷2等于6×1/2 ，你们刚才是像这样学习的吗？
生：是。
师：太棒了，像这样的例子我们是不是可以举出好多好多？那么像这样，如果袁老师用a除以b来表示我们所有二年级学过的除法算式，那么你觉得照咱们五年级的水平，我们可以把它写成什么？
生：a乘以b。
师：呃，说错了，那你帮他纠正一下。
生：a乘以b分之一。
师：越来越自信了，给他一点掌声，让他再说一次好吗？
生：a乘以b分之一。
师：太好了，集体给予他的力量，a除以b我们可以写成a乘b分之一，就是把它平均分成b份，取了其中的一份。太棒了，同学们，原来我们的除法还和乘法之间有着神秘的联系，有意思吗？
生：有。
师：那么请问，这个a除了可以是12，可以是刚才这个女孩子举到的16，可以是这个男孩子举到的6，还可不可以是其他的数？比如说它可不可以是4/5呢？如果是4/5除以一个整数，按照咱们刚才的猜想，你觉得它可以写成什么样的算式？哇，举手的同学越来越自信了，再高一点，让袁老师看到，太棒了，他可以写成，你说。
生：可以写成4/5÷2 。
师：已经是4/5÷2了，可以写成什么？
生：可以写成4/5乘以0.5 。
生：也可以写成4/5乘以1/2 。
师：你们的想法，两个同学的方法都可以，按照我们刚才发现的规律类推的话，那袁老师可能要记录的是这个男生的方法，谢谢这位男生。4/5×1/2，请问这两个结果也相等吗？
生：也相等。
师：真的呀，4/5×1/2，袁老师知道你们学过了，口算一下等于几？
生：2/5。
师：约分以后再进行计算。那4/5除以2也等于2/5吗？
生：等于。
师：这个除法算式，真的会和这个乘法算式的结果完全一样吗？你能不能想办法调动你的数学知识的储备，来给我们做一下证明呢？袁老师给你这几条学习建议，你等会儿可以用我们以前学过的方法来算一算，也可以借助图形画一画，画出这个结果。当然，刚才袁老师还给同学们发了一张表示4/5的纸，你也可以直接用它折一折。如果你选择的是前面两个方法，你可以把你方法的结果写在我们的小纸条上。如果你选择的是后面的方法，你可以直接折出来，但是咱们的水平衡量标准是你的方法越多，水平越高，好吗？自己学习吧。
（学生自主学习）
师：五四班的同学真了不起，把咱们的学习作品先放在一边，袁老师采集到了几个能代表大部分同学思路的方法，一二三四五，还有一个六。怎么样，同学们，这些方法你想到了吗？有没有跟你想到的一样的方法？哪些方法你虽然没有想到，但是你现在通过看已经看懂了？还有哪些方法你根本看不懂，等会是需要向他提问的？请你从你看懂了谁的方法，你想向谁的方法提问题，你甚至可以想想，哪一种方法和咱们刚才猜想的4/5乘1/2有那么一点关系。已经有好多小手在下面举起来了，特别喜欢你们刚才爱思考的状态，刚才我们是独立思考对不对？现在接下来，结合你刚才思考的感受和现在我们同学们的这些方法，跟你的同桌就这3个问题来讨论一下，现在开始。