师：上节课我们认识了圆，想一想接下来我们还会研究什么？
生：因为正方形，我们也是先认识正方形，然后接着研究它的周长和面积。所以我猜圆，认识完之后，也应该去研究它的周长和面积。
师：同不同意？
生（齐声）：同意！
师：掌声送给他。是啊，这三个方面是这个单元的主要内容。从认识到周长再到面积，也是我们学习这些内容的一般过程。今天我们就接着来研究圆的周长。什么是圆的周长？
生：就是我们看到的这个圆，它这条黑线就是它一圈的长度。
生：我们知道这个封闭图形是圆，那封闭图形外面一圈的弧线的长度，就是圆的周长。
师：同学们和你们想的一样吗？是啊，我们把围成圆一圈曲线的长，叫做圆的周长。今天我们要研究圆的周长，请同学们先来做一个展望，这节课研究完以后，我们最终会得到什么呢？
生：应该会得到一个求圆的周长的公式。
师：同学们，他说到一个词很关键，叫什么？
生（齐声）：公式！
师：（指向发言同学）起立，你是怎么想到最后会得到一个公式的呢？
生：因为我们之前学长方形和正方形的周长的时候，长方形有长加宽的和乘以2的周长公式，正方形有边长乘4的周长公式。所以我认为圆应该也会得到一个公式来计算它的周长。
师：谁听懂了他的意思？请坐。你说。
生：就是我们根据前面学长方形和正方形周长时的经验，最后都推出来了一个计算周长的公式。所以他猜圆在我们学习完它的周长以后，也会得到一个周长的公式。
师：同意吗？他说的清楚，你听得明白，掌声送给两位。是啊，在探索新知的时候，同学们能够主动关联旧知，是个很好的想法。那探索出圆的周长公式有什么用呢？
生：能知道圆的一圈有多长。
生：一些原本无法计算的，比如说圆形花圃的弧线长度，我们就可以通过圆的周长的计算方式计算出来，方便计算。
师：那公式就只能算这一个圆的周长吗？
生：并不是的。因为我们知道圆的大小跟它的半径有关，那么知道圆的半径，有了求圆周长的公式，就可以利用半径求出它的周长。不只是求这一个圆，可以求比它更大或更小的圆。只要是这种弧线组成的封闭图形的圆，能套进公式，就可以计算出它的周长。
师：也就是说，这个公式可以适用于所有的圆，对不对？是啊，公式可以满足一切情况，放诸四海而皆准。例如长方形的周长公式是谁来说一下？（将话筒递给最后一名男同学）
生：长方形的周长公式是长加宽的和乘以2。
师：真好，请坐。正方形的周长公式呢？你说。
生：正方形的周长公式是边长乘4。
师：真好，请坐。那圆的周长到底有没有公式呢？有又长什么样呢？这就是今天我们这趟数学之旅最终要解决的问题。同学们课前我们在猜谜语的时候，根据三个谜语的联系，借助梅花想到了草莓、杨梅，对吧？那这两个公式对于我们探索圆的周长公式又有什么启发呢？把你的想法说给你的同桌听一听，开始。
（学生讨论）
师：好声音渐渐小了，来有什么启发呢？谁来说？
生：原来我们在学长方形和正方形的周长时，都是取它的其中一部分去乘以一个数。所以我猜圆形的周长也是取它当中的一部分，就是直径或者半径去乘以一个数，也就是它直径或者半径的倍数。
师：这个猜想胆子很大，但很有道理。同学们听清楚了吗？那我可要考考大家，他的回答其实包含着两层意思。首先圆的周长与什么有关？
生：半径和直径。
师：真好，请坐。那邱老师想问，为什么圆的周长会和它的直径、半径有关呢？
生：因为我们知道圆的半径和直径决定了圆的大小，圆越大，它的周长就越大。所以可以认为圆的直径和半径与圆的周长有关系。
师：同学们同不同意？回答问题有理有据，掌声鼓励。是啊，同学们的推测很有道理，而且我们还知道在同一个圆中，直径是半径的2倍，所以与直径有关，也就是与什么有关？那我们就直接来研究周长与直径的关系吧。第二层意思，他俩又有什么关系呢？刚才这位女同学猜得很好，你说。
生：他刚刚说的是倍数关系，但我觉得也不能说是倍数关系，应该是直径乘上某一个数，应该是等于圆的周长，但是不一定是一个整数。
师：乘上一个数，其实我们就说可以是倍数关系，对不对？当然你的意思这个数有可能不是整数。但是我们还是知道，他们俩可能存在着倍数关系。那如果正如同学们猜想那样，确实存在倍数关系的话，那请同学们想一想，圆的周长可能是它直径的几倍呢？好好想一想，可以结合这个圆来估一估。
（举手的人不多）
师：这样，先把你的想法说给同桌听一听，开始。
（学生讨论）
师：来谁来说一说，你估几倍呢？只说结果就行。
生：我觉得是两倍。
生：三倍。
生：2.5倍。
师：看来同学们有不同的想法。这样我们先请两倍多的同学来说说他的理由，好不好？谁来？你说。
生：我们知道两点之间线段最短，那我们看到那条红色的线应该就是这两个点之间的线段，它是最短的。但是我们能看到上面的那条蓝线，肯定比这条红线长，但是没到这条红线的两倍。上面有一条蓝线，下面还有一条蓝线，所以就是两条红色的线也就是直径，然后又多出一点点，应该就是两倍多。
师：同学们有句话叫做耳听为虚，来请你上来演示一下，咱们先鼓掌后欣赏。
（学生上台演示，将线拉直比较）
生：我们首先可以把这条线给它拉直，这条红色的线是比这条蓝色的线短的，所以说就是这条红线的一倍多，然后这里下面还有一条这样子的蓝线，所以说合起来就应该有两倍，然后两倍这边又多出了一些，应该就是两倍多。
师：同学们同意吗？说的真好，谢谢你请回。哎，通过这位同学的演示，我们知道圆的周长大于什么？
生：大于直径的两倍。
师：梳理一下，刚才这位同学是把圆周长的曲线变直了，再去和直径进行比较的，对吧？那受他的启发，我们还可以怎么办？
生：可以把圆的周长量出来，然后再除以直径。
师：刚才他是把周长变直了去和直径比较的，那受他的启发，我们还可以怎么办？
生：把直径变弯了去跟周长比较。
（学生上台演示，将直径掰弯与周长比较）
生：就这样差不多的弧度，然后我们就会发现长出了这么一大截，接着比，两次，所以我认为应该是三次，然后这边还有一小块，所以我认为是三倍多一点。刚才那位同学的方法，他只能得出比两倍多、比四倍少的答案，不能得出一定是两倍多的答案，因为一倍多加一倍多，有可能是3倍多，不一定一定是两倍多，所以我的答案是两倍多。
师：你刚才把直径掰弯了再去和周长比，你得到一个什么结论？你告诉大家。
生：我得到的结论是周长比直径的3倍还多那么一点点。
师：同学们他的方法可以吗？
生（齐声）：可以！
师：非常巧妙，来我们请他骄傲地走回去。我们一起来看一看他的骄傲。都说理不辩不明，刚才同学们的讨论很有价值，缩小了我们推测的范围。现在我们知道圆的周长大于直径的3倍，并且小于直径的4倍，没到4倍，对吧？那问题来了，我们得到的还是一个范围啊，那能不能像长方形、正方形的周长公式一样，找到一个固定的倍数，也就是一个定值呢？能不能？你打算怎么去找到这个定值？