师：同学们好！
生：老师好！
师：请坐。国庆即将来临，每年国庆给我印象最深刻的，就是天安门广场上的五星红旗。如果我们把旗杆抽象成一条直线，地面抽象成平面，那么这条直线和这个平面呈现了怎样的位置关系呢？
生：垂直。
师：对，是垂直关系。接下来，我们看一下我们家乡美丽的临江门大桥，如果把桥桩抽象成直线，那么桥桩和江面又是怎样的位置关系呢？
生：垂直。
师：哎，还是垂直。所以希望同学们学业有成之后，能够回报祖国、回报家乡。再来看一下日常生活中比较常见的开关门的状态，门轴和地面之间又是什么样的位置关系呢？
生：还是垂直。
师：这些例子都给我们呈现了线面垂直的关系。那在实际生活当中，还有没有其他呈现这种直线和平面垂直关系的例子呢？马瑞琪。
马瑞琪：我们用的桌子，桌子腿和地板是垂直的。
师：哎，这也是一种垂直关系对吧？好，请坐。马明远。
马明远：墙角和地面是垂直。
师：墙角相邻两个墙面的什么呢？具体说应该是交线和地面是垂直关系对吧？好，请坐。还有吗？这样的例子应该随处可见。
生：空调的侧棱和地面是垂直的。
师：好，请坐。以上都是直线和平面垂直的实际例子，这就是我们本节课要学习的内容——直线与平面垂直的判定。下面请同学们跟老师一起做个活动，认真听老师的指令，并做出相应的动作，然后回答我的问题。请全体同学起立，如果把我们的身体抽象成一条直线，那么这条直线和地面的位置关系是什么呢？
生：垂直。
师：那请全体同学向右倾斜，此时这条直线和地面还垂直吗？
生：不垂直了。
师：那我们再向前倾斜，垂直吗？
生：不垂直。
师：好，请坐，大家配合得非常好。但要想保证这条直线和地面垂直，那么我们的身体应该怎么样呢？
生：竖直，不能向任何一面倾斜。
师：哎，这个过程其实就是数学家发现问题的一个过程。18世纪，法国数学家克莱罗在几个基础中，给出了线面垂直的一个直观解释，他说：一条直线不向平面上任何一面倾斜，那么这条直线就跟这个平面垂直。有道理吗？
生：有。
师：科学家在发现问题的时候，其实都是先给出一个直观的解释，然后再去研究它的本质。线面垂直其实经历了一个很漫长的过程。我们来看这样一个实验，旗杆和地面上的影子之间是什么关系呢？
生：直线垂直。
师：它们是一种相交垂直的关系。那随着时间的变化，影子也在不断变化，这种关系还确定吗？
生：确定，还是垂直。
师：也就是说旗杆和地面上所有旗杆的影子都垂直，那也就保证了这条直线不向平面上任何一个方向倾斜，也就得到了直线和平面垂直的定义。这个定义是欧几里得在《几何原本》当中提出的：若一条直线垂直于平面上与该直线相交的所有直线，则这条直线与平面垂直。我们来看，欧几里得将克莱罗提出的直观解释，利用直线与平面当中与它相交的所有直线，由直线和直线垂直推导出了直线与平面垂直，实现了将线面垂直的问题转化为线线垂直的问题，同时将这种线面垂直关系的立体模型、空间模型平面化了，把三维空间的问题转化为了二维问题，起到了降维的作用。那问题又来了，旗杆与地面当中的其他直线是什么关系呢？
生：垂直。
师：为什么？
生：因为平面上的这些直线经过平移以后，都可以与旗杆相交，我们可以把它平移到与旗杆相交，这样就满足旗杆和它垂直。
师：好，请坐。旗杆与平移后的直线垂直，就能得到旗杆与平移前的直线垂直。那这种垂直是一种什么样的垂直关系呢？
生：异面垂直。
师：那我们就能得到直线与平面当中的所有直线垂直。所有直线还可以用什么样的词语来代替呢？
生：任意一条直线。
师：这样的话，我们又可以将定义进一步完善，把与平面当中所有与它相交的直线，改成与任意一条直线垂直，就得到了我们现在所使用的直线与平面垂直的定义。请同学们把书翻开，翻到149页，在书上找到相应的直线与平面垂直的定义，做个标记：如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L与平面α垂直，记作L⊥α。然后再进一步完善你的导学案。根据定义，我们做出相应的图形语言。同学们在作图的时候，我们经常用平行四边形来表示平面，直线与平面α垂直，这条直线画的时候，通常与平行四边形的一条边垂直，因为是直线，要把它画出头。在这个定义当中，我们把平面α叫做垂面，直线和平面α的交点P叫做垂足。再来看一下定义，要想得到直线和平面互相垂直，需要满足什么条件呢？
生：直线与平面内的任意一条直线都垂直。
师：这个任意条直线我们可以换做什么呀？
生：所有直线，全部的直线。
师：从逻辑上，还可以怎样解释线面垂直的定义呢？从逻辑关系上，在定义当中谁做了条件？已知条件是什么？
生：如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直。
师：结论是什么？
生：直线L与平面α互相垂直。
师：从条件到结论是一种什么样的关系？
生：条件能够推出结论。
师：那这叫什么性啊？
生：充分性。
师：对于定义它其实都具有双向性，那从结论能推出条件吗？
生1：不一定。
师：如果直线L和α垂直，那直线L和α内的线是什么关系？从结论能不能推出条件？
生：能。
师：也就是说定义当中的条件和结论，它们之间是什么关系？
生：充要关系。
师：好，请坐。我们既能通过定义中的线线垂直得到线面垂直，也能从线面垂直这个结论得到线线垂直，其实实现了线线垂直和线面垂直互相转化的过程。以上是我们对定义的分析，那同学们结合这个图形，能不能给出它相应的符号语言？对于平面中的什么线呢？
生：任意一条直线a。
师：如果L和a垂直，L就和α怎么样？
生：垂直。
师：我们来写一下，任意的a在平面内，如果L⊥a，我们就能推出来L垂直于谁呀？
生：α。
师：这是它的符号语言。那直线与平面垂直的定义有什么作用啊？
生：可以用来判定直线与平面是垂直的。
师：那同学们接着思考一下，如果用定义来判断线面垂直方便吗？
生：不方便。
师：为什么不方便呢？
生：需要证明这条直线和平面当中的所有直线都垂直，这是一个无限的证明过程，现实生活中实现不了。
师：所以我们要将这种无限的证明转化为什么呢？
生：有限的证明，需要通过证明这条直线和平面当中的一部分直线垂直，来证明线面垂直。
师：那是一条直线呢，还是两条直线，还是更多条直线呢？下面请同学们以小组为单位，来讨论这样一个问题，如果不合适，同学们做一个演示，利用手中的纸和笔，书面来做演示，如果合理，就给我们一个猜想。
（学生小组讨论、演示）
师：好了，我们一起来看一下。如果直线L和平面当中的一条直线垂直，它和这个平面垂直吗？
生：不一定。
师：大家一起演示一下，什么情况不行呢？可以把书拿起来，书当纸面，用笔画一下。丁丁，好，给大家看一下你的演示。
丁丁：我把书斜过来，总结数据的时候，书的这条直线跟笔是垂直的，但是书的别的直线，不跟这条直线平行的所有直线都不跟笔垂直。笔和书的边缘线是垂直的，但是笔和书所在的平面就不垂直。书面上所有和它平行的线，此时都和笔垂直，但是这条直线和平面垂直吗？不垂直。
师：好，你请坐。解释了一条不行，无数条也不行，那几条行呢？
生：两条相交的行。
师：为啥两条相交的就可以呢？
生：两条相交线确定一个平面。
师：两条平行线也能确定一个平面啊，两条平行线确定的平面，刚才丁元恒是不是已经举出实例了？书的两个边缘线和这个笔垂直，但是这个笔和书面是不垂直的。那两条相交线就一定行吗？你刚才证实了没？
生：觉得可以。
师：这也是一个直观的解释，那对于这个解释，这个猜想正不正确呢？我们需要怎么样？
生：证明。
师：对，我们现在暂时保留这个猜想。如果说两条相交线都可以的话，那对于无数条直线，我们就没必要去验证它了，对吧？刚才还解释了一个问题，无数条直线都垂直，那么这条直线和α面垂直吗？
生：不一定。
师：那怎么来解释直线和平面内两条相交直线垂直，就和这个平面垂直呢？我们课前已经准备好了三角形纸片，同学们和老师一起来完成这个实验。在三角形纸片上标清楚A、B、C三点，过顶点A翻折纸片得到折痕AD，然后再将翻折后的纸片竖起放置在桌面上，让BD和DC与桌面垂直。请问折痕AD与桌面垂直吗？有垂直的吗？有没有不垂直的？那如何翻折才能使AD与桌面垂直呢？同学们动手操作一下，可以跟同桌互相合作。