同学们好，上节课，同学们认识了柱体、锥体、台体、球以及简单组合体的结构特征。为了深入学习和研究这些空间几何体，需要我们将它们画在纸上，也就是用二维平面图形表示三维立体图形。接下去就让我们一起来学习立体图形直观图这一堂课。
何为直观图呢？它是观察者站在某一点观察一个空间几何体获得的图形。让我们来观察两幅图片，平时生活中，矩形窗户在阳光照射下留在地面上的影子是什么形状？眺望远处成块的农田，矩形的农田又是什么形状？不难发现它们都是平行四边形。在立体几何中，立体图形的直观图通常是在平行投影下得到的平面图形。
回顾初中我们已经学过的平行投影相关知识，如果一个矩形垂直于投影面，但投影线不垂直于投影面时，矩形的平行投影是一个平行四边形，这也印证了我们刚刚观察的结果。接下去让我们利用GGB软件来演示上述结论。图中矩形ABCD垂直于绿色坐标轴与红色坐标轴所确定的灰色投影面。黄色的虚线表示平行光线。现在我们来调整平行光线的方向，确保平行光线不与投影面垂直。请大家观察投影面上的投影形状。不难发现投影是一个平行四边形。今天我们所要学习的立体图形直观图的画法就是基于平行投影的原理。
在上节课中，同学们已经对空间几何体有了初步的认识。其实立体几何作为几何学的一个重要分支，它的起源可以追溯到古希腊时期。在漫长的发展过程中，立体图形的绘制方法也在不断地演进和更迭。从1509年版欧几里得几何到1575年版毛罗立科的数学文集，我们可以看到长方体和立方体直观图的底面是一个平行四边形。但在绘制过程中，对于横向与纵向、线段夹角以及长度的选取并没有明确。接下去的很长一段时间，立体图形的直观图的绘制方法也都没有得到统一。
直到1916年，贝茨和尾部出版的《立体几何》给出了斜二测投影的作图法，并明确了绘制过程中横向、纵向以及竖向线段之间夹角和长度的选取方法，并将几何体被遮挡的部分改为虚线。依据特定的平行投影斜二测画法画出的立体图形直观图非常接近于人眼观察的结果，具有较好的立体感和真实感，因此被大家广泛接受和认可，一直沿用至今。接下去让我们一起来学习绘制立体图形直观图的方法。
要画立体图形的直观图，一般先画底面，主要包括多边形和圆。我们先来学习绘制水平放置多边形的方法，绘制方法主要分为三步：
第一步，在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O。画直观图时把它们画成对应的x'轴和y'轴，两轴交于O'点，且使∠x'O'y' = 45°或135°，它们确定的平面表示水平面。
第二步，已知图形中平行于x轴和y轴的线段在直观图中分别平行于x'轴和y'轴。
第三步，已知图形中平行于x轴的线段在直观图中长度不变，平行于y轴的线段在直观图中长度变为原来的一半。
同学们，请你总结上述绘制方法中的要点。在作图过程中，我们将坐标系夹角取为45°或135°，并将平行于y轴的线段在直观图中长度取为原来的一半。这是绘制方法的两大要点，也正是这两大要点，我们将上述绘制方法命名为斜二测画法。
接下去让我们一起利用斜二测画法绘制水平放置的正六边形的直观图。如图，在正六边形ABCDEF中，首先取AD所在的直线为x轴，AD的垂直平分线MN为y轴，两轴相交于点O。画相应的x'轴和y'轴，两轴相交于点O'，使∠x'O'y' = 45°。当然，同学们也可以建立其他适当的坐标系。
接下去，以O'为中点，在x'轴上取A'D' = AD；在y'轴上取M'N' = 1/2MN。以点N'为中点，画B'C'平行于x'轴，并且等于BC；再以M'为中点画F'E'平行于x'轴，并且等于FE。最后连接A'B'、B'C'、C'D'、D'E'、E'F'和F'A'，并擦去辅助线，我们便获得了正六边形ABCDEF水平放置的直观图A'B'C'D'E'F'。
在掌握斜二测画法绘制水平放置多边形的同时，请同学们规范书写作图步骤，养成良好的学习习惯。同时，请同学们思考在利用斜二测画法画直观图过程中，关键点是什么？x轴和y轴起到了什么作用？其实对于绘制水平放置多边形的直观图，关键可以归结于确定多边形顶点位置的画法，而x轴和y轴表示了空间中横向和纵向这两个维度，起到了帮助我们确定多边形顶点位置这一关键作用。