师：上课！
生：老师好！
师：同学们好，请坐。大家小时候都喝过白糖水吧？
生：喝过。
师：那大家肯定有这样的生活经验，一碗水中加入一定量的糖，在未饱和状态下，糖加得越多，糖水就会越甜，对吧？
生：对。
师：这实际上是因为糖水的浓度随着糖量的增加而增大了。李白在《将进酒》中有这样的名句“君不见高堂明镜悲白发，朝如青丝暮成雪”，他描述了什么事物的变化规律呢？来，你说说看。
生：我觉得是头发，白发的数量随着年龄的增加而增多。
师：请坐。是白发量随着时间的增加而增加，对吧？
生：对。
师：下图展示了嘉峪关某一天的气温变化曲线，从这幅图中，你读出了哪些信息呢？来，你说说看。
生：这天的最高气温是10摄氏度，最低气温是-2摄氏度。
师：他读到了最高气温为10摄氏度，最低气温为零下2摄氏度，对吧？
生：对。
师：请坐。其他同学还有不同观点吗？你还读到了什么？来，你说说。
生：气温先下降，再升高，然后再下降。
师：气温先下降，再升高，再下降。那你能具体说说，在什么时间范围内气温先下降，什么范围内气温在上升吗？
生：在0:00到4:00的时候，气温下降；在4:00到10:40的时候，气温上升；在10:40到20:40的时候，气温又下降。
师：说的很好，请坐。我们日常生活中有很多像这样事物的变化规律。总体来讲，要么呈现蒸蒸日上的状态，要么呈现每况愈下的状态，要么呈现此起彼伏的状态。而人们为了更好地研究事物运动发展变化的规律，引入了函数。通过对函数变化规律的研究，进而去把握客观世界中事物运动发展变化的规律。这就是我们这节课要一起学习的——函数的性质。总体而言，函数的性质就是运动变化中的规律性，以及运动变化中的不变性。
下面请同学们画出下列函数的图像，观察并说明图像有何变化趋势。
（学生画图过程）
师：好了，我看基本上大家都画完了。下面我为同学们投屏展示。我们来看一下韩寒同学画的图像，第一个y = x + 1的图像，和大家画的一样吗？
生：一样。
师：来，那请你说一说，y = x + 1图像有什么特征呢？
生：y = x + 1的函数图像从左到右上升。
师：从左到右上升，那y随x怎样变化呢？
生：y随x的增大而增大。
师：好。第二个函数图像，y = -2x + 1，它有什么特征？
生：y = -2x + 1的函数图像从左到右下降，y随x的增大而减小。
师：很好。那y = x2呢？
生：y = x2在y轴的左侧，从左到右下降；在y轴的右侧，从左到右上升。y先随x的增大而减小，再随x的增大而增大。在y轴的左侧，y随x增大而减小；在y轴的右侧，y随x的增大而增大。
师：说的对不对？
生：对。
师：很好，请坐。我们可以通过观察函数图像从左到右的升降情况，来判断一个函数的函数值随自变量如何变化，对吗？下面我有个问题想问大家，函数y = x + 2/x在x > 0的时候，函数值随自变量的增大是增大，还是随自变量的增大而减小呢？这个函数对大家来讲有点陌生，对吧？
生：对。
师：但是根据刚才的经验，我们可以尝试画图。很好，那你准备怎样去画图呢？
生：利用描点法画图。
师：同学们来尝试画一画。
（学生画图过程）
师：好了，下面我继续为大家投屏展示两个同学画的图。大家可以看一下，你画的图像和这两位同学画的一样吗？你更认可这两个图中的哪一个呢？
生：第二个。
师：我们请第二位同学来说说。
生：在x = 1/2时，所对应的函数值为4.5，所以我预计函数是先下降后上升的趋势。
师：这位同学描述说，他和第一个同学的区别就在于，他多取了一个x = 1/2，对应的函数值为4.5，所以描出了这个图像，对吗？
生：对。
师：下面我们用画板工具，为大家展示y = x + 2/x的图像，看看和第二位同学画的一样不。画板工具展示的要更精确一些，是吧？但是有个新问题，即便是如此精确的图像，我们依然很难发现，在(0, +∞)上先下降后上升的这个分界点在哪里，对吧？
生：对。
师：那我们好像一时回答不了，到底在什么范围内y随x增大而增大，y随x增大而减小，对吗？
生：对。
师：你来说说。
生：我感觉这个函数图像有些像我们之前学的基本不等式。根据这个解析式，联想到我们以前学过基本不等式。因为在x和2/x都是大于0的情况下，x加上2/x大于等于2倍根号下x乘以2/x，也就是说它大于等于2倍根号2，而且仅当x = 2/x，即x = 根号2的情况下，可以找到那个分界点。
师：大家听明白了吗？
生：明白了。
师：请坐。陈佳木同学通过这个函数解析式，联想到了我们之前学过的基本不等式，他指出x和2/x都是正数时，我们可以利用基本不等式求最小值，并且回答了最小值取得的条件就是x = 根号2。这就说明，这个函数在(0, 根号2]上，y随x的增大而减小，对吗？
生：对。
师：那在[根号2, +∞)里面，y随x的增大而增大。虽然描点画图对我们来讲，是很直观地判断y随x增大而增大，或者y随x增大而减小的方法，对吧？
生：对。
师：但是还是远远不够的，我们还需要通过解析式，从定量的角度，对y随x的增大而增大，或者y随x增大而减小进行描述，这就是今天我们要学习的——函数的单调性。
下面我们问题再回到我们熟悉的函数y = x2。刚才有同学说，在y轴的左侧怎样，在y轴的右侧怎样。事实上是说，在(-∞, 0]上，它图像从左到右下降；在(0, +∞)内，图像从左到右上升。从数的角度，我们可以用文字语言去表示y随x的变化情况，对吗？
生：对。
师：那在(-∞, 0]内，函数y随x增大而减小。在(0, +∞)呢？
生：y随x的增大而增大。
师：很好。这个时候我们就说y = x2在(-∞, 0]上单调递减，在(0, +∞)上单调递增，对不对？
生：对。
师：下面我有个问题问大家，怎样用符号语言刻画在(0, +∞)内，y随x的增大而增大呢？请同学们思考，增大就意味着什么？来，你说说。
生：可以通过作比较来判断这两个大小关系，增大就意味着要比较。
师：那x增大了，怎么去理解呢？
生：可以在(0, +∞)上取两个点，X?大于X?。
师：很好，请坐。那y增大了怎么表示呢？
生：可以用f(X?)表示y增大。
师：你觉得y随x增大而增大这句话中，还有哪个词很关键呢？
生：随。
师：怎么来翻译“随”呢？来，你说说看。
生：当X?大于X?时，f(X?)大于f(X?)。
师：当X?大于X?时，有f(X?)大于f(X?)，说的很好，请坐。也就是说可以描述为当X?小于X?时，有f(X?)小于f(X?)，对吧？
生：对。
师：那我想问下这里的X?、X?来自哪里呢？
生：这里的X?、X?来自(0, +∞)。
师：我们把这个条件补上。除了来自(0, +∞)之外，还有别的要求吗？如果我只取(0, +∞)内的两个确定的值X?、X?，当X?小于X?时，若f(X?)小于f(X?)，能不能保证这个函数y = f(x)在(0, +∞)内，y随x增大而增大呢？下面，请同学们4人一小组讨论一下。
（小组讨论过程）
师：好了，我看每个小组都有自己的观点。下面，我们为大家展示一下这一组的讨论结果，请这位同学给大家解释一下。
生：因为X?小于X?，f(X?)也小于f(X?)，但是这个函数的图像不是一直上升的。
师：他说这里的X?小于X?，同时也有f(X?)小于f(X?)，但是图像从左到右不是一直上升的，对吧？不能保证它在(0, +∞)内，y随x一直增大，对吗？
生：对。
师：他们组通过举例子，帮我们说明了这个问题。那我还想继续问大家，我在(0, +∞)内取3个确定的值X?、X?、X?，当X?小于X?小于X?时，有f(X?)小于f(X?)小于f(X?)，这时能保证y = f(x)在(0, +∞)内，y随x的增大而增大吗？
生：不能。摇头否定。
师：那你来说一说。
生：我画了个图，在我画的这个图像中，X?小于X?小于X?，有Y?小于Y?小于Y?，但是这个图像整体上随着x的增大，并不是上升的。
师：也就说明有这样的关系，并不能保证y = f(x)在区间(0, +∞)内，y随x增大而增大，对吗？
生：对。
师：那下面请同学们思考，两个值不行，3个值不行，那如果我取(0, +∞)内的无数个数X?、X?、X?……让它们也满足这样一种关系，能保证y = f(x)在这个区间上y随x增大而增大吗？
生：不行。
师：我们请个同学来说一说，谁想发表一下你的观点？好，你来说一说。
生：我觉得不对。因为在这个函数图像的无数个点上，点与点之间是有间隙的。点与点之间有间隙，就会出现刚才庞旭画的图的那种情况，所以我觉得这个是不对的。
师：很好，请坐。全民同学刚才讲，即便取无数个值，对应无数个点，但是点和点之间总是有间隙的。在这个间隙中间，就有可能出现刚才庞旭展示的那种情况，所以就不能保证y = f(x)在整个(0, +∞)内，y随x增大而增大，对吧？
生：对。
师：那两个不行，三个不行，无数个不行，怎么办呢？我听很多同学说“所有的”，是所有的x?、x?，有f(x?)小于f(x?)，是这样吗？
生：对。
师：对不对？对。但是这里的“所有”依然是一个无限概念，我们并不能逐一去操作，对吗？
生：对。
师：那大家再回忆一下，我们之前有没有学习过表示“所有”概念的量词呢？
生：全称量词。
师：很好。所以我们可以借助哪个全称量词来帮忙？
生：任意。
师：那你来说一说，如果借助这个全称量词，再加上刚才同学们讨论的结果，能不能完整地表达一下，在(0, +∞)上，y随x的增大而增大，符号怎么去表示呢？
生：任意的X?、X?，当X?小于X?时，f(X?)就小于f(X?)。
师：请坐。好了，我们再请一个同学表述一下，来你来说说看。
生：任意的X?、X?属于这个函数的定义域，当X?小于X?时，都有f(X?)小于f(X?)。