师：上课，同学们好！
生：老师好！
师：请坐。我们已经学完了圆锥曲线这一章，包括它的定义、标准方程、几何性质以及简单应用。圆锥曲线与科研、生产以及人类生活都有着密切的联系。今天这节课，我们就来一起探索圆锥曲线与光学的联系，也就是圆锥曲线的光学性质。
生活中不同物体射出来的光线是有差异的，像这两个射出来的是平行光，看这个灯泡，还有这个床头灯射出来的光线是发散的。再看这个电影放映机反光镜射出来的光线是怎么样的？
生：聚集的。
师：对，那这些不同的光线蕴含着什么样的原理呢？根据物理的光学知识，光线在这些物体里面一定会发生什么？
生：光的反射。
师：好，那我们先来复习一下光的反射的基本原理。我们已经学过光线射到光滑的平面上，发生反射时，反射角等于入射角。当反射面为曲面时，则需过入射点作曲面的切线。此时经过入射点并且垂直于切线的直线则为法线，入射角和反射角同样满足反射角等于入射角。
我们把光的反射从平面扩展到了曲面，在曲面上一点处的反射，镜面就是在这一点处做这个曲面的什么呀？
生：切线。
师：对，生活中大部分光的反射都是曲面反射。今天我们先来拿平行光来探究一下，看看跟我们数学中的圆锥曲线有什么联系。生活中大家都使用过的手电筒，经过适当调节后，就能射出一束较强的平行光线。大家可以拿出来手中的手电筒，一起动手实验回答老师的这5个问题。好，可以开始讨论了。
（一段时间后）
师：停下来我们来一起看一下啊。手电筒大家都拆开了，看到里面有个什么？
生：这个曲面的反光镜。
师：对，正常有这个曲面反光镜的时候能射出来平行光，我们把这个曲面拿开看这个光线怎么样了？
生：发散了。
师：好，那你能回答第二个问题吗？手电筒灯源本来发出的光线是如何变成平行光的呢？
生：一定是曲面反射的作用。
师：好，那如果你是设计师，这个曲面应该设计成什么形状呢？
生：球面，有可能球面的一部分。
生：抛物线，是二维平面的曲线，抛物面。
生：椭球面。
生：双曲面。
师：好，那这三个的定义我们给出来啊。抛物面、椭圆面（也叫椭球面）、双曲面，分别是抛物线、椭圆、双曲线绕对称轴旋转得到的曲面。我们以抛物面为例，它的曲面与轴截面的交线为抛物线。好，那有没有可能跟圆锥曲线没关系啊？就是任意的一个曲面，也有可能其他的曲面。现在我们可以大胆猜测，等一下我们有办法去验证这些设计方案。
好，那么现在大家再看这个小的可转动的手电筒。来，我们来演示一下，现在射出来的是平行光，来转，看这个光线怎么样了？好，转动的过程当中为什么光线会发生变化呢？第四个问题，好，你来说一下。
生：根据它的曲面形状和光源在曲面的不同位置，我们转动调节手电筒的时候，灯源在曲面的位置改变了。
师：对，大家可以看到只有在特殊位置的时候才能够射出平行光。
好，那第五个问题，由上面四个问题你能不能说出来，我们想设计手电筒射出平行光线，关键的要素有哪些？还是这位同学你来说一下。
生：它的曲面的形状，然后灯源在曲面得是确定的位置，特定的位置。
师：好，那现在我们就来一起分别看一下不同的设计方案，能否使手电筒得到平行光线。
我们第一个曲面设计方案是什么来着啊？
生：大家熟悉的球面。
师：好，那我们先看球面镜，如果作为反光镜的话，调节光源在平面镜的不同位置，看看能不能射出来平行光线。老师用数学的动画软件给大家分别模拟了三种情况下光线在球面镜的反射情况。第一种灯源在球面上。好，大家一起来看一下，虽然只有三条光线，我们也可以看到这反射出来光线平行吗？
生：不平行。
师：好，那这个是不行的。那如果它就在球心的位置，灯源就在球心的位置，那它射出来的光线经过反射后，大家猜一猜反射光线会怎么样？
生：原路返回过球心。
师：所以它也不是平行的。好，那如果是在球的内部非球心的位置，我们再来看一下，是平行射出的吗？
生：不是。
师：所以球面镜可不可以？
生：不行。
师：那这个方案一我们就给它否掉。再来看第二个方案，如果我设置这个曲面反光镜是抛物面，那仍然我们还是要确定一下这个灯源在抛物面镜当中的位置。好，那大家假设你手中的这个手电筒这个曲面就是抛物面的话，大家看一下这个灯源像是在抛物面的哪里？有同学猜顶点？还有没有猜其他的点？
生：焦点。
师：没错，抛物线最特殊的点是焦点，当然也可以是其他的位置。
好，我们现在还是用信息技术来分别验证一下，第一个顶点是平行射出的吗？
生：不是。
师：所以顶点不行，第二个焦点怎么样？
生：平行了。
师：好，那说明这个设计方案行不行？
生：行。
师：好，那我们总结一下这个设计方案当中的基本要素，第一个曲面选的是什么？
生：抛物面。
师：好，那么现在我们开始就提二维平面的抛物线就行了，灯源在抛物线的哪里？
生：焦点。
师：好，然后光线从灯源发出来射到抛物线上，经过了什么？
生：反射。
师：它射出来光线是怎样的？
生：平行于抛物线的对称轴。
师：好，那现在你能不能用一句话把刚才的这些信息都归纳起来，概括出手电筒能够射出平行光线这个现象的基本原理。好，这位同学你来说一下。
生：从焦点发出的光线，经过反射后，它们的反射光线平行于抛物线的对称轴。
师：没错，总结得很到位，这个就是我们抛物线的光学性质。那大家回忆一下这个光学性质是怎么得出来的？一开始我们是不是观察到了手电筒射出平行光这个实际现象？然后我们一起去讨论探究，一起去猜测它的曲面的形状，猜测灯源在曲面的位置，然后还利用了信息技术的手段去模拟了我们的猜想。但是直到现在为止，你有进行严格的理论证明吗？
生：没有。
师：所以它还只能是停留在猜想。那如果你想要把它变成一个结论的话，你需要怎么样？接下来？
生：用我们数学的知识去证明它。
师：好，那么在证明之前，我们先把这个抛物线关于性质的猜想转换成一个具体的要证的数学问题。老师给大家一个具体的抛物线(y^{2}=4x)，这样我们等一下证的时候好证一些。找同学把这个叙述变成数学的证明问题，有没有同学？好，来，你来说。
生：发射一条光线出去，然后射到抛物线上的一个点，然后经抛物线反射后的反射光线与(x)轴是平行的，要证的是光线与(x)轴是平行的。
师：请坐，要把已知的条件以及要证明的结论说清楚。那么我们来看一下这个数学证明，这个证明是在我们教材上139页13题。
好，我们要证的结论就是反射光线与(x)轴平行，那么大家思考一下如何证明两直线平行？我现在已经帮你把这个反射模型当中的要素做出来了，(P)点就是切点，然后点(P)处反射镜面就是切线，法线，入射角、反射角相等，大家看这个图如何证明两直线平行呢？
生：内错角相等。
师：对，我们大家都学过的，内错角、同位角相等证两直线平行，还有其他的方法吗？
生：斜率相等。
师：没错，这是代数的方法。斜率相等，那么(x)轴斜率是多少？
生：(0)。
师：所以我们要证反射光线所在的这个直线斜率是什么？
生：(0)。
师：好，那现在大家思考一下，用这两种方法分别怎么去证明？大家想证明的思路就可以。好，讨论一下。
（一段时间后）
师：好多同学都已经想出来了，这个证明并不复杂，我们从要证的结论开始往回推。第一个证内错角相等，(\angle2 = \angle3)，有没有同学可以说一下他的证明思路？好，这位同学你来说。
生：因为入射角等于反射角，所以(\angle2 = \angle3)就可以转化成(\angle1 = \angle3)，(\angle1 = \angle3)可以转化成距离问题，就是两个边长相等，就是(PF)等于下面那个边，等于下面这个点。