师：同学们好！
生：老师好！
师：请坐。我们学过圆锥曲线，知道椭圆、双曲线，还有抛物线，它们都有焦点。焦点，顾名思义，是光线汇聚的点，这说明圆锥曲线和光有密切关系。大家刚刚预习了圆锥曲线的光学性质及其他应用，来看看记住了多少。先提个问题，一束光从椭圆的一个焦点射出，经过椭圆面反射，反射光线怎么走？
生：经过另一个焦点。
师：很好。那双曲线呢？哪位同学来说说。
生：这是入射光线，就相当于从另一个焦点射出的一道光线，经过这个面反射出去。
师：请坐。有点像发散的味道。那抛物线呢？边上同学说说。
生：射出平行于抛物线的对称轴，反射出去也平行于对称轴。
师：对，下面同学也说到了对称轴。从课本上我们学到了这些知识，那为什么光通过圆锥曲线的面会走这样的路线呢？这肯定和光的反射原理有关。所以要探究背后的原理，先来复习一下物理里的反射定理。有没有同学还记得反射定理？后面这位男同学。
生：反射角等于入射角。
师：他说得很专业。反射光线与法线的夹角叫反射角，所以反射定理就是反射角等于入射角。同学提到了法线，法线怎么做呢？这里的点指的是P点，过P点做垂线，这条线就是法线。如果入射光线已经画好了，怎么去画反射光线？
生：在法线的右边，做一个入射光线与法线夹角相等的角。
师：可以借助什么工具？
生：量角器。
师：用量角器画一个相等的角可以。如果手头上没有量角器，只有一把三角板，该怎么走？
生：三角板可以做垂线，也能量长度。
师：如果这是一面镜子，对着镜子看能看到什么？
生：做A点关于这条界面直线的对称点。
师：对，简单说就是做对称点。在物理里，这个点叫虚像。把它连起来，反射光线就画好了。从这个图中，按照这样的作图方式，可以得到哪些几何性质？哪些角相等？
生：入射角和反射角相等。
师：除了入射角和反射角，还有没有角相等？最后面那位女生，你说说看。
生：90度减去反射角，也就是入射角和反射角分别跟镜面的夹角相等。
师：这两个角相等的理由是什么？
生：反射角和入射角相等，然后90度减去它们，剩下的角也相等，就是等角的余角相等。
师：非常好。这两边的两个角分别相等。根据作图方法，如果这里再加一个Q点、B点，那么A'、P、B三点共线，这里有对顶角相等，相等的角很多。这样一幅图，在解决哪一类问题的时候特别方便？如果这里再取一个点，大家会想到什么问题？你来回答。
生：这个P点在这个界面上动，那么它的两条线段加起来，最短距离就是把A点对称过去连一下，也就是这个P点。换句话说，就是AP加上BP，它小于APE加上BPE，是一个最短路径。
师：请坐。这个最短路径刚好跟光走的路径吻合。这里有一个原理，是法国数学家费马研究光的反射和折射规律提出的光行最短原理，也就是说光走的路径总是选择最短路径。如果从一个点A到一个点B，经过反射，光走的路径距离最短。有了这些预备知识，来研究一下椭圆。刚刚说从一个焦点出发，通过椭圆面反射会经过另一个焦点。根据光的反射原理，画出图中的界面和法线。界面怎么画？
生：过一点画椭圆的切线。
师：你都知道是椭圆的切线，很厉害。那法线呢？
生：法线和切线垂直。
师：有点循环论证的感觉，但直觉是正确的。事实上，如果要准确地画，应该先画法线还是先画界面呢？我们知道反射角等于入射角，所以法线应该是这两条光线的角平分线，这样就能准确画出法线。根据法线和界面垂直，怎么找界面？
生：过P点作垂直于法线的垂线。
师：就可以找到界面。你直觉它是一条切线，为什么呢？书上没说，我们来证明这个问题。假设椭圆方程已经给出，点也固定了，怎么说明这条线是切线？
生：用Δ等于0，把切线方程求出来。
师：可以这样操作。刚刚的图是先做角平分线，再做垂线。如果要验证它是切线，应该先求角平分线，再通过角平分线和界面垂直求出界面方程，再用Δ等于0检验它是否是切线。但这个方法求角平分线方程比较困难，有点繁琐，这是一种解析法。接下来介绍另外一种方法，既然正着做比较麻烦，就反着做，用什么数学思想和方法？
生：正难则反，用反证法。
师：对，如果要用反证法，本来要说明它是切线，它的反面是什么？
生：它不是切线。
师：不是切线又跟椭圆有一个交点，那它必须是什么线？
生：有两个交点，是一条割线。
师：假设它是割线，跟椭圆有另外一个交点。根据刚才的性质，把这个点关于界面怎么做？
生：对称过去。
师：做出虚线，这个图和刚才研究的图性质一样，可以得到什么结果？
生：这三点共线。