师：上课，起立！
生：老师好！
师：同学们好，请坐好。上一章我们学习了直线相关内容，生活中还有很多有用有趣的曲线有待我们去探究。今天我们将进入第三章圆锥曲线的学习。圆锥曲线包含哪些曲线呢？我们来做个实验观察一下。同学们桌上都有这样的物品，大家看看这个像什么几何体啊？
生：圆锥！
师：对，像圆锥。将这个圆锥水平放置在平面上，观察液面与圆锥侧面相交的曲线，也就是截口曲线，它是什么图形呢？
生：圆形！
师：现在我们将这个圆锥微微倾斜，随着倾斜角度不同，你们还能观察出什么曲线呢？大家小组合作探究一下，也可以倒过来看看。有什么发现吗？
生：好像是……
生：也可以说是抛物线。
师：继续倾斜呢？哪个小组来跟我们汇报一下你们研究的结果？第八组同学来。
生：我们发现将圆锥微微倾斜，所得的截口是一个椭圆；再倾斜一些，所得的截口曲线有点像二次函数的抛物线。
师：还有吗？
生：没有啦。
师：哪个小组还有其他补充？没有的话，第一组同学来，站上来，大家看得清楚一点。
生：我们把两个圆锥横着放凑在一起，发现有点像我们后面要学的双曲线，左边有一支，右边也有一支。
师：刚才大家都有所发现，我们在实验中观察到，圆、椭圆、抛物线、双曲线都可以用一个平面去截圆锥所得。这是一个圆锥，那么中间这一条线叫……圆锥的轴截面是一个三角形，将顶角的一半记为α。我们知道，用一个垂直于轴的平面去截圆锥，得到的截口曲线是一个圆。如果此时我们的平面与轴的夹角θ大于α，小于π/2的时候，得到的截口曲线是一个椭圆。当我们的平面与轴的夹角θ大于等于0，小于α的时候，此时得到的截口曲线是一个双曲线。当我们的平面与轴所成的角θ与α相等的时候，此时截口曲线是一个抛物线。我们将以上这三种曲线统称为圆锥曲线。生活中有哪些圆锥曲线的例子呢？我们来看一些图片。第一幅图是什么？
生：行星的轨迹，行星轨道、太阳系。
师：对，我们知道行星绕太阳运行的轨道是椭圆。这个是国家大剧院的建筑，外形也是什么形？
生：椭圆。
师：这是什么呀？
生：因冷却的发电站的冷却塔。
师：它的外形是什么？
生：双曲线。
师：台灯光线在墙面上的投影线。这些都是与我们生活息息相关的例子。那圆锥曲线它有怎样的历史发展呢？我们来看一个视频——圆锥曲线的形成和发展。
（播放视频）
师：通过视频我们知道圆锥曲线起源于古希腊，笛卡尔发明了坐标系后，人们就开始用坐标法去研究圆锥曲线。那人们的研究思路是什么呢？同学们思考一下。有想法的同学可以举手。好，于希曼说一下。
生：我认为应该先去研究这个曲线是怎么画的，也就是它的定义，然后在坐标系中去求它的方程。
师：哪位同学还有什么补充？孙宇轩。
生：我觉得还需要研究这个曲线的性质。
师：刚才两位同学说的很好。那么我们首先从现实背景出发，探究曲线的定义，由定义推导出方程，再由方程去研究性质，最后去实际应用。这是我们圆锥曲线的研究思路。今天我们就先来研究一下椭圆及其标准方程。这里有一根定长的细绳，我现在将细绳的两端固定在一个点上，用笔套紧绳子移动笔尖，我们可以得到一个什么图形啊？
生：圆。
师：现在我们将绳子的两端固定在两个定点上，同样用笔套紧绳子移动笔尖，又可以做出一个什么样的图形呢？大家可以用桌上的画板来画一下，并且在画的过程中观察移动的笔尖满足什么样的几何条件。大家操作一下。画好的小组可以上去展示你们小组画的图形。
（学生展示）
师：好，我们来看一下他们三个画的。你说一下你画的时候有什么发现。