师：上课，起立！
生：老师好！
师：同学们好，请坐好。上一章我们学习了直线相关内容，生活中还有很多有用有趣的曲线有待我们去探究。今天我们将进入第三章圆锥曲线的学习。圆锥曲线包含哪些曲线呢？我们来做个实验观察一下。同学们桌上都有这样的物品，大家看看这个像什么几何体啊？
生：圆锥！
师：对，像圆锥。将这个圆锥水平放置在平面上，观察液面与圆锥侧面相交的曲线，也就是截口曲线，它是什么图形呢？
生：圆形！
师：现在我们将这个圆锥微微倾斜，随着倾斜角度不同，你们还能观察出什么曲线呢？大家小组合作探究一下，也可以倒过来看看。有什么发现吗？
生：好像是……
生：也可以说是抛物线。
师：继续倾斜呢？哪个小组来跟我们汇报一下你们研究的结果？第八组同学来。
生：我们发现将圆锥微微倾斜，所得的截口是一个椭圆；再倾斜一些，所得的截口曲线有点像二次函数的抛物线。
师：还有吗？
生：没有啦。
师：哪个小组还有其他补充？没有的话，第一组同学来，站上来，大家看得清楚一点。
生：我们把两个圆锥横着放凑在一起，发现有点像我们后面要学的双曲线，左边有一支，右边也有一支。
师：刚才大家都有所发现，我们在实验中观察到，圆、椭圆、抛物线、双曲线都可以用一个平面去截圆锥所得。这是一个圆锥，那么中间这一条线叫……圆锥的轴截面是一个三角形，将顶角的一半记为α。我们知道，用一个垂直于轴的平面去截圆锥，得到的截口曲线是一个圆。如果此时我们的平面与轴的夹角θ大于α，小于π/2的时候，得到的截口曲线是一个椭圆。当我们的平面与轴的夹角θ大于等于0，小于α的时候，此时得到的截口曲线是一个双曲线。当我们的平面与轴所成的角θ与α相等的时候，此时截口曲线是一个抛物线。我们将以上这三种曲线统称为圆锥曲线。生活中有哪些圆锥曲线的例子呢？我们来看一些图片。第一幅图是什么？
生：行星的轨迹，行星轨道、太阳系。
师：对，我们知道行星绕太阳运行的轨道是椭圆。这个是国家大剧院的建筑，外形也是什么形？
生：椭圆。
师：这是什么呀？
生：因冷却的发电站的冷却塔。
师：它的外形是什么？
生：双曲线。
师：台灯光线在墙面上的投影线。这些都是与我们生活息息相关的例子。那圆锥曲线它有怎样的历史发展呢？我们来看一个视频——圆锥曲线的形成和发展。
（播放视频）
师：通过视频我们知道圆锥曲线起源于古希腊，笛卡尔发明了坐标系后，人们就开始用坐标法去研究圆锥曲线。那人们的研究思路是什么呢？同学们思考一下。有想法的同学可以举手。好，于希曼说一下。
生：我认为应该先去研究这个曲线是怎么画的，也就是它的定义，然后在坐标系中去求它的方程。
师：哪位同学还有什么补充？孙宇轩。
生：我觉得还需要研究这个曲线的性质。
师：刚才两位同学说的很好。那么我们首先从现实背景出发，探究曲线的定义，由定义推导出方程，再由方程去研究性质，最后去实际应用。这是我们圆锥曲线的研究思路。今天我们就先来研究一下椭圆及其标准方程。这里有一根定长的细绳，我现在将细绳的两端固定在一个点上，用笔套紧绳子移动笔尖，我们可以得到一个什么图形啊？
生：圆。
师：现在我们将绳子的两端固定在两个定点上，同样用笔套紧绳子移动笔尖，又可以做出一个什么样的图形呢？大家可以用桌上的画板来画一下，并且在画的过程中观察移动的笔尖满足什么样的几何条件。大家操作一下。画好的小组可以上去展示你们小组画的图形。
（学生展示）
师：好，我们来看一下他们三个画的。你说一下你画的时候有什么发现。
生：我发现我们在画椭圆的时候，要把这个绳子拉紧，这样才可以避免打结，画出更标准的椭圆。
师：好，谢谢。你呢？
生：我们做椭圆的时候，发现椭圆上的动点到这两个定点的距离之和是保持不变的，一直等于绳长。
师：这个同学有什么发现？
生：我的发现和他们是一样的。
师：谢谢。刚才他们在画的过程中发现移动的笔尖到两个定点的距离之和等于绳长。还有其他发现吗？姚思意。
生：我发现绳长总是大于两定点的长度。
师：绳长总是大于两定点的长度是吧，请坐。我们来看这个绳长比这两定点的距离长。那如果绳长等于两定点之间的长度，会怎么样呢？如果绳长等于两定点之间的长度，或者比两定点的距离还小的时候，此时动点M的轨迹还是椭圆吗？大家去思考一下。有想法的同学可以举手示意。好，李婷婷同学。
生：我觉得如果绳长等于F?、F?之间的距离的话，那它那个轨迹就是一条直线；如果小于F?、F?之间距离的话，那就画不出什么图形。
师：如果等于F?、F?的长度，画出来是一条直线，准确说是一条线段。为什么呢？你上来演示一下。
生：（演示）当我们的绳长等于两定点之间的距离的时候，动点就只能在这一条线段上面移动，画出来的就是一条线段。但是如果绳长没有它们之间的距离长的话，线就断了，画不出图形来。
师：所以呢，我们要画出椭圆，必须要满足绳长大于F?F?的距离。大家根据刚才的实践探究，能给椭圆下一个定义吗？思考一下。好，哪个同学来给我们总结一下？周礼洛。
生：我们组发现椭圆上的点运动的时候，这根绳子和这两个点的距离可以构成一个三角形。根据三角形两边之和大于第三边，所以绳长一定要大于这两个点的距离才能构成一个椭圆。
师：能用精炼的语言给椭圆下个定义吗？就是当M点在椭圆上运动的时候……
生：MF? + MF?要大于F?、F?。
师：哪个同学再来补充一下？好，吴红军同学。
生：如果要下个定义的话，就是说在平面内与两个定点，我们把这两个定点称为F?、F?，与这两个定点F?、F?的距离的和等于一个定长，这个点的轨迹就构成了一个椭圆。