师：稍息，起立。
生：老师好！
师：同学们好，请坐。今天我们要研究的是点阵中的规律。看到这个课题，大家有什么疑问吗？
生：请问老师，什么是点阵中的规律呢？点阵中有什么规律呢？什么是点阵呢？
师：这节课我们就围绕大家提出的这些问题一起来探究。瞧，像这样每个图形就是一个点阵，这是一组点阵。大家仔细观察每个点阵中点的个数，有什么发现？先来看活动要求，谁来读一读？
生：活动要求：一想点的个数有怎样的排列规律；二画，必要时可在点阵图上分一分、画一画；三写，把自己的发现用算式表示出来。从抽屉里拿出学习单开始，4人小组互相说一说。
师：下面来看，1 + 2等于几呢？它有两份，每份24；它有三份，每份28；它有四份，每份有四个。1 + 3 + 4 + 5，这是几位同学的想法，大家能看明白他们是怎么发现规律的吗？
师：我们先来交流第一位同学的作品。第一位同学是按每列有几个来写的，比如第一幅图，一列一行，就是1×1 = 1；第二幅图有两列，每行有两个，所以用2×2；第三幅图每行有3列，每列有3个，就用3×3；第四幅图有4列，每列有4个，就用4×4。大家有补充吗？
生：我想补充一下。其实刚刚说的一列一行、两列两行，就像是在算正方形的面积，但在这里其实是在算点子的总数量。所以我想补充这个想法。
师：大家还有谁要补充？
生：假设这是一个正方形，边长是1，所以用1×1可以求出正方形的面积。第二个正方形边长是2，用2×2，后面都是用边长乘边长求出它们的总点数。
师：你的意思是这个正方形边长是2颗，对吧？那有几行呢？
生：有两行。
师：每行两个，有两行，横着观察可以用这样的算式，竖着观察同样可以用这样的算式。谢谢你们，请回。同学们，看来大家已经知道这个点阵是几行几列了，横着观察两行，可以用这样的算式，竖着观察还是用这样的算式来表示。第一个点阵一行一列，算式是1×1。
生：第二个点阵是2×2，两行两列；第三个点阵是3×3；第四个点阵是4×4。还有一种想法，就是第一个图形用1，第二个图形用1 + 3，第三个图形用1 + 3 + 5，第四个图形用1 + 3 + 5 + 7。请问大家有补充的吗？
生：这边是一个，这边就有3个，就是1 + 3；这边又多出了5个，就是1 + 3 + 5；这边一个，这边有3个，这边有5个，这边有7个，就是1 + 3 + 5 + 7。我还有一个发现，如果开头第一个点数是1，向后加，要变成正方形的点阵的话，是按照奇数1、3、5、7、9这样一直加下去，就会变成一个正方形。就像刚刚王子言说的，第一个点是所有图形共有的，所以可以直接1加上某个数字算出所有的点数。
师：他关注到数的特点，1、1 + 3、1 + 3 + 5、1 + 3 + 5 + 7，这些都是连续的奇数，而且都是从1开始的连续奇数。还有谁想说？
生：这个1我们都知道，先写下来。这里面有一个1，再写下来，多了3个，再加3，就等于4个。这个也是，前面算过的写下来，多出5个，相加就等于总点数。这个也是，把前面有的先写下来，再加上多出的，就可以算出总点数。
师：好几位同学都提到了增加的部分。大家看，这一条线一画，不仅可以看出第二个点阵增加了这一部分，还能清楚地看出每个点阵有几层。第一个点阵有一层，第二个点阵有两层，第三个点阵有3层，第四个点阵有4层。大家发现了什么？
生：随着点阵的增加，它的层数也会增加。这个其实和第一个同学的发现有联系，第一个同学把它看成正方形的面积，而这里一层一层下去，原本有一行一列，第二个就有一行两列，加一层就变成两行两列，以此类推。
师：下一个点阵会有5层，那这边的层和刚才说的层一样吗？
生：不一样，每层的数量不一样。这边的层是逐渐增加的。