师：上课。
生：起立。
师：同学们好。
生：老师好。
师：请坐。同学们，今天我们继续来学习解决问题。在解决问题中，我们经常要运用四种运算，你们知道吗？
生：知道。
师：你说。
生：我们经常用到的四种运算是加减乘除。
师：嗯，非常完整。那请同学们回忆一下，什么时候用除法解决问题？你来。
生：嗯，就是可以把一个数平均分成多少份。
师：嗯，我捕捉到一个关键词，平均分，没错。二年级的时候我们就已经学过了。赵老师这有几道生活中的数学问题，试试看能不能快速口答。你说。
生：有24个苹果，平均分给6个小朋友，每人可以分4个。
师：嗯，算式是24÷6 = 4，同意吗？
生：同意。
师：这个题是平均分吗？
生：是的。
师：你从哪里看出来的？你说。
生：它上面是平均分给6个小朋友。
师：嗯，没错，平均分给6个小朋友，求每人分几个，所以是平均分。怎样列式？你说。
生：80÷8 = 10段。
师：这个题是平均分吗？
生：是。
师：为什么？你从哪里看出来的？你说。
生：他说每8米分成一段，就是让我们求80里面有几个8。
师：嗯，回答得真棒。每8米为一段，每份分得同样多，也是平均分，对吗？
生：对。
师：这个题呢？嗯，我看大家审题都非常的认真仔细，它是平均分吗？女生。
生：它是平均分。
师：你从哪里看出来的？
生：每隔5米栽一棵树。
师：好，那怎样列式？有想法的举手。好，女生。
生：用300÷5 + 2，我是认为，嗯，等于……端都要栽，所以后面要加二，三百除以5，那是因为300米的小路每隔5米栽一棵，所以两端都要栽，然后加2。
师：嗯，好，那它等于多少？
生：62。
师：还有不同的想法吗？有。还有啊，好，你来。
生：嗯，呃，因为他是把长300米的小路，每隔5米栽一棵，我觉得不用加或者减那些数，直接除以就好了，因为我觉得不会有多出来的。
师：嗯，大家听明白了吗？哦，有没有支持这个想法的？哦，还有不少。好，等于多少？
生：60。
师：还有其他的想法吗？你来。
生：300÷5 + 1。
师：嗯，好，请坐。诶，这个题和第二题相比，不也是平均分吗？怎么会冒出这么多不同的答案？它有什么特别的地方？你找到了吗？你说。
生：嗯，他说他的两端都要栽。
师：哦，你发现到一个非常重要的已知条件，两端都栽。好，请坐。两端都栽是什么意思？好，你来解释。
生：嗯，就是在一条路上，你嗯，就是它栽树的话，它就是这一边要栽，这一边也要栽。
师：嗯，还有补充吗？好，你说。
生：就是头和尾都要栽。
师：欸，这两个词用得非常好，头尾栽或者说是起点要栽，终点也要栽。厉害了同学们，两端都栽时，你们会支持哪一个答案？第几个？第一个，你说。
生：我觉得我支持第三个。
师：哦，有支持第三个的，还有支持第二个的吗？哦，也有。好哎，大家的想法看来还有分歧，但是你们的想法中，仍然有一个非常一致的地方，你发现了吗？
生：300÷5。
师：一起说。
生：300÷5。
师：没错，那300÷5到底表示什么含义？你来。
生：表示它有多少个间隔。
师：呃，有同学认为是60个间隔，还有不同的想法吗？你说。
生：我认为是60棵树。
师：哦，也有同学觉得是60棵树。那60到底表示60个间隔还是60棵树呢？赵老师这有一幅图，谁能结合这幅图再给大家解释解释60的含义？好，你说。
生：嗯，根据这幅图，60，嗯，60，它总共是300米，每隔5米栽一棵，300÷5 = 60就是它，嗯，每隔5米就是它的一个间隔，300÷5 = 60就是它的间隔数。
师：嗯，间隔数，60表示间隔数，解释的清不清楚？
生：清楚。
师：非常的完整。那谁还能再像他这样，完整地说一说60它的含义？你来，要不要上来说一说？嗯。
生：每5米一个间隔，总共三百米，就是300除以5，总共共有60个间隔。
师：嗯，很好。我们一起来看，在300米的小路上，每5米为一个间隔，或者说一段，就被平均分成了60段。真好，所以，总长除以每段长度，等于段数。我们已经明确了，60表示60段，我们就把60的单位统一成段，60段也就是60个间隔。没错，那这个问题是不是就解决啦？哦，我听到呃，有人摇头，解决了吗？
生：没有。
师：因为你求的这是段数，但是它的问题却是一共要栽多少棵树。你补充。
生：我觉得应该是求完了，因为我们，我因为我觉得段数应该等于棵数。
师：嗯，那段数和棵数之间，到底存在怎样的关系呢？在两端都栽时，段数和棵数到底存在怎样的关系呢？有的同学可能会觉得，已经算完了，那就是段数怎么样？
生：等于棵数。
师：嗯，是的，就像那个女生所认为的。还有同学可能觉得棵数会等于什么？
生：段数加2。
师：哦，还有同学觉得呢？
生：棵数等于段数加1。
师：有这么多的猜想，那接下来我们就要研究，哪种猜想是正确的。两端都栽时，棵数和段数到底是怎样的关系呢？那我们想一想，我们有什么样的方法，能帮我们验证我们的猜想是否正确？你说。
生：我们可以画一个呃，举个例子，嗯，画一幅数量小的图。
师：哦，举例子，用数据说话，可以吗？好，同桌来。
生：有个最简单的方法就可以，看自己的手。虽然我们有5根手指头，但是我们却有4个间隔。
师：嗯，那你解释的是两端都栽时，哎，他用手，嗯，间隔数比棵数会少一。嗯，他用手指图，来帮我们解释棵数和段数之间的关系，对吗？很会想办法。刚才有同学说可以举例子，用数据说话，还可以怎么样？
生：看手指，或者我们还可以画图。
师：对，有同学说可以画图，但是哎，列表格，注意我们的画图要简洁易懂，可以说服大家。有想法了吗？好，现在拿出你们的作业纸来，探究一下在两端都栽时，棵树和段树之间的关系，就是这个。拿出自己的作业纸。
（学生进行探究）
师：验证好的同学，可以把你得到的结论，填在下面的横线上。我看很多同学都举了不同的例子，在进行验证，非常的棒。谁愿意上来汇报一下你的想法？好，来你上来。
生：这首先我把它的总长就是300米，每段长度是5米，段数也是60段，然后棵数是……（此处棵数表述21米有误，推测应为计算得出的棵数），然后我把这个图画下来，中间是用省略号，因为这个数据过于的太大，所以我觉得用省略号比较简便。然后我用300除以5等于有60个间隔，然后要求它的棵数，我们可以用它的呃，一棵树和一个段落为一组，发现组后只有60个，还有一个多出来了，所以要用60 + 1，就等于61棵树。
师：嗯，哎，说的非常好，大家听懂了吗？
生：听懂了。
师：哎，掌声送给他。刚才有同学已经情不自禁地想鼓掌了。哎，你刚才用省略号不挺简洁的吗，你干嘛又做了一些调整？
生：因为我觉得用这呃，用这些小数（推测应为较小的数据）可以更加代表出呃，它有多少棵数。
师：嗯，那就是更方便于找到棵数和段数之间的……这个词用的太好了。有谁也像他一样，把数据改小再验证的？举手。好，你来。
生：嗯，就是，我是这样子想的，它那个数据画大了，如果用省略号的话，那它看着就不清晰，不明朗。而如果我把数据缩短来举例子的话，更加能表现出它的数量关系，更简单描述它的规律。我觉得应该是棵数等于段数加一。
师：嗯，你验证一下，是不是6段和7棵树，带大家数一数。
生：一二三四五六是6个间隔，一二三四五六七，7棵树，而这底下的数据也比较简单明了，也可以数。
师：哇，有谁的想法是跟他一样的？举手。嗯，你们太会想办法了。好，请回位。把大的数据变小，不仅好数好画，更方便于我们发现棵数和段数之间的规律，对关系。你们已经体会到了化繁为简的思想。没错，大家都这样得出了结论，但是赵老师还是有点困惑，我们虽然举了很多的例子，也画了图，但是为什么两端都栽时，一定是棵树等于段数加一呢？怎么就一定是这个规律啊？老师这还有一幅图，你能再结合这幅图，和我们好好的解释解释吗？嗯，嗯，好，女生。
生：其实我们可以尝试一一对应的方法，一棵树对应一个间隔，我发现最后还剩了一棵树，所以呢，就要用，就第4棵树就等于段数加一。
师：哦，一一对应，这是你想到的方法对吗？非常的巧妙，但是大家都听得懂吗？
生：听得懂。
师：好，你上来边指边跟大家再说说。
生：呃，可以把一棵树和一个间隔看成一组，嗯，好，把一棵树和一个间隔看成一组以后，可以分为三组，这样的结果，还剩了一棵树，所以棵树它就是段数加一。
师：哎，说的非常的完整。那除了可以这样看成一组，你还可以怎么看？你来，上来。
生：就是我从右边开始看，一棵树和一个间隔为一组，然后你圈一圈，然后有三组，之后最后一棵树它后面没有间隔，它就不能成一组了，它就会多一棵树，所以得出结论，棵数等于间隔加一。