师：同学们你们好！
生：老师好！
师：请坐。今天，袁老师给同学们带来一道数学问题，就在黑板上。如果这个长方形代表12平方米，把下面的问题读一遍，开始：“平均分成两份，求其中的一份是多少。”怎么样，这个问题难不难？
生：不难！
师：你们猜，这是我们几年级就已经学过的问题？
生：三年级！三年级！
师：二年级。对呀，我们很早很早（long long ago）就已经解决过的问题。怎么算？
生：12÷2，2×6。
师：谢谢同学们把我们带回了二年级，12÷2 = 6平方米。但是咱们现在几年级了？
生：五年级！
师：对啊，请你用五年级的眼光来看这里，仔细想想，那么这个问题除了可以用12÷2来解决，你还有没有不一样的算式，也可以来解决这个问题呢？用上你五年级的水平。袁老师喜欢看大家的手势。这个男生，手举得高高的，都已经自己站起来了。
生：就是可以12乘以1/2。
师：再说一遍，让所有的同学都听到。
生：12乘以1/2。
师：同意吗？
生：同意！
师：你说一说，为什么你觉得可以用12×1/2来进行计算？
生：因为1/2×2等于1，1就是12，那12除以2等于6，6就是1/2。
师：哦，你是用算式来说明的。你想补充吗？
生：其实我有另一种算法，12乘以0.5。因为12乘以1就等于12，0.5是1的一半，也就是除以2。
师：听懂没有？
生：听懂了！
师：先把掌声送给这两个今天第一个给我们发言的同学。袁老师特别喜欢跟你们这样学习，一个同学发表完意见以后，还有同学可以提出自己不一样的想法。对不对？都可以证明，这两个算式最后计算出来的结果其实是一样的。非常好。那有没有同学可以借助一张纸，用折的方法，也让我们看到12平均分成两份和12的1/2表示的意思是一样的呢？谁能在袁老师的这张纸上折一折？来，小姑娘，一边折一边可以跟大家说一说。
生：如果要平均分成两份，可以这样子折，也可以这样子。嗯，然后1/2的话，就是它的长度或者宽度除以2，中间的那一个，两个尺子中间也是1/2，折起来都一样，就只有两种折法。
师：太棒了！我看到很多同学都在点头，表示非常欣赏她的方法。她说可以这样平均分成两份，还可以怎么分？
生：竖着平均分成两份。
师：不管怎么样，我们看到的都是把12平方米平均分成了两份，表示了其中的一份。而这个，我们看到的就是我们熟悉的12的多少？谢谢同学们，原来我们用图形也可以帮助我们找到这两个算式之间的关系，是吗？好，那照这样，如果袁老师再写一个算式，我写的是12÷3和12×1/3，你觉得相等吗？小张，你能不能也像刚才这个女生一样，给我们折一折，让我们看到它们是相等的，并且告诉我们原因呢？嗯，很多同学都在自己手里进行比划，再想一想，刚才这个女生平均分成两份，表示其中的一份，那现在这一个式子，你要表达它是相等的。来。
生：其实这里说12平方米要除以3，意思就是说将这12平方米平均分成三份，而12乘以1/3意思也就是将一个整份分成三份，取其中的一份。所以说，其实它们俩的含义是一样的，再加上它们分的都是12平方米，因此可以得出它们相等的结果。
师：对不对？你们同意吗？
生：同意！
师：请把掌声送给他。既给我们讲清了他想怎么折，而且还告诉我们，原来这两个算式不论怎么看，都是想办法要把12平方米平均分成三份，表示其中的一份。用这两个算式来表示都是可以的，有意思吧？你看，咱们二年级学的除法，用我们五年级的水平来看，就可以看到不一样的结果和算式，对不对？那么，请问我们二年级学的除法，除了12÷2、12÷3，还有吗？再说几个。
生：很多很多。
师：你能不能也举出这样一个例子，找一找和它相等的算式，有没有也像刚才这些同学一样说一说理由呢？来，跟同桌伙伴说一说。比如说，你跟他说6÷4就等于6×1/4，对不对？那你说，你该画什么？
生：6÷2。
师：那你说结果是多少？
生：6÷2 = 3，也就是6乘1/2，就是把6平均分成两份，取其中的一份。
师：怎么样，你们举到这样的例子了吗？袁老师刚才参与了这个小组的学习，你刚才说的二年级的除法是16÷4，你回答五年级咱们也是6÷2，6×1/2。你们刚才是像这样学习的吗？太棒了，像这样的例子我们是不是可以举出好多好多？那么像这样，如果袁老师用a除以b来表示我们所有二年级学过的除法算式，那么你觉得照咱们五年级的水平，我们可以把它写成什么？
生：a乘以a乘以b……呃，说错了。
师：你帮他纠正一下。
生：a乘以b分之一。
师：或者a乘以b分之……a乘以b分之一。越来越自信了，给他一点掌声，让他再说一次，好吗？
生：a乘以b分之一。
师：太好了，集体给予他的力量。a除以b我们可以写成a乘b分之一，就是把它平均分成b份，取了其中的一份。太棒了同学们，原来我们的除法还和乘法之间有着神秘的联系，有意思吗？那么请问这个a除了可以是12，可以是刚才这个女孩子举到的16，可以是这个男孩子举到的6，还可不可以是其他的数？
生：可以！
师：比如说它可不可以是4/5呢？如果是4/5除以一个整数，按照咱们刚才的猜想，你觉得它可以写成什么样的算式？
生：它可以写成4/5×0.5。
生：也可以写成4/5乘以1/2。
师：你们的想法呢？两个同学的方法都可以。按照我们刚才发现的规律类推的话，那袁老师可能要记录的是这个男生的方法，谢谢这位男生，4/5乘1/2。请问这两个结果也相等吗？
生：也相等！
师：真的呀？真的。4/5乘1/2，袁老师知道你们学过了，口算一下等于几？
生：等于2/5。
师：约分以后再进行计算。那4/5除以2也等于2/5吗？
生：等于！
师：这个除法算式真的会和这个乘法算式的结果完全一样吗？
生：会！
师：你能不能想办法，调动你的数学知识储备，来给我们做一下证明呢？袁老师给你这几条学习建议，你等会可以用我们以前学过的方法来算一算，也可以借助图形画一画，画出这个结果。当然，刚才袁老师还给同学们发了一张表示4/5的纸，你也可以直接用它折一折。如果你选择的是前面两个方法，你可以把你方法的结果写在我们的小纸条上；如果你选择的是后面的方法，你可以直接折出来。但是咱们的水平衡量线是你的方法越多，水平越高，好吗？自己学习吧。54班的同学真了不起。来，把咱们的学习作品先放在一边，袁老师采集到了几个能代表大部分同学思路的方法。怎么样，同学们，这些方法你想到了吗？有没有跟你想到的一样的方法？哪些方法你虽然没有想到，但是你现在通过看已经看懂了？还有哪些方法你根本看不懂，等会是需要向他提问的？请你从你看懂了谁的方法，你想向谁的方法提问题，你甚至可以想一想哪一种方法和咱们刚才猜想的4/5乘1/2有那么一点关系。已经有好多小手在下面举起来了，特别喜欢你们刚才爱思考的状态。刚才我们是独立思考，对不对？现在接下来，集合你刚才思考的感受和现在同学们的这些方法，跟你的同桌就这3个问题来讨论一下，现在开始。
（小组讨论中……）
师：袁老师刚才就参与了这一个大组的小组学习，获得了很多的感受。你们刚才相互学习得怎么样？可以。刚才袁老师参与这个大组学习的时候，这个男生，帅小伙子，站起来。特别会提问题，你刚才提了什么问题？
生：我就是想知道，为什么那个2，第三种方法的2还要再乘以一个1/2，这个乘1/2是怎么来的？