师：上课！
生：老师好！
师：同学们好，请坐。
师：函数是我们高中学习的重要内容。在此之前，我们已经学习过很多基本初等函数了。一起来回顾一下，我们学习过哪些函数？想一想。
师：好，那老师找个人来说一说。好，你来说。
生：我们之前学过了一次函数、二次函数、指数函数、对数函数，还有……
师：好，请坐。我们不仅学习了这么多函数，还知道函数是用来刻画客观事物变化规律的数学模型。那老师想来考一考大家：如果我想要描述匀速直线运动，我该采用怎样的函数模型呢？
生：一次函数。
师：那抛物运动或者自由落体运动呢？
生：二次函数。
师：也就是说，针对某一类问题，我们可以找到一个函数模型来刻画它。而在我们的生活中，有这样一类现象，它是用来描述事物周而复始、循环往复的变化规律，我们将之称为周期性。比如，地球的自转引起了昼夜交替，地球的公转引起了四季交替。那么，有没有一种函数模型可以用来刻画周期性的变化规律呢？
生：有。
师：通过今天的学习，我们就能找到它了。一起进入三角函数概念的学习。
师：圆周运动是一类典型的周期运动。今天我们就以圆周运动为例展开研究。同学们来看这样一幅图：在圆O上，点P以A为起点，逆时针方向旋转。此时点P就在做圆周运动。点P从A点出发，逆时针旋转一周，回到初始位置，而后继续旋转。这就体现了P点运动的周期性。今天，我们就想建立一个函数模型，来刻画点P的位置变化情况。这是我们的主要任务。
师：那要想解决这个问题，我们首先得知道，点P的位置受到哪些因素的影响？想一想，看一看。
师：谁来说？好，你来。
生：我觉得应该受到圆心的位置，还有圆的半径，还有角度的影响。
师：角∠AOP的大小，是不是？好，请坐。还有没有同学要补充的？好，你来说。
生：我觉得还和旋转的方向有关。
师：好，请坐。同学们说了这么多影响点P位置的因素，今天我们主要来研究点P的位置与圆心角∠AOP之间的关系。我们知道，圆心角的大小和圆的半径有没有关系？
生：没有关系。
师：为了研究的一般性，我们可以为了简便，就令这个圆的半径等于1。我们将半径为一的圆称为单位圆。是的，那接下来，我们就从单位圆中刻画点P的位置变化。同学们想一想，为了更好的刻画点P的位置，我们可以把这个单位圆放在哪里去研究呢？
生：平面直角坐标系当中。
师：这样我们就可以用坐标来表示点P的位置了。那我如何建立呢？我们可以以圆心O为原点，OA为x轴的非负半轴，建立平面直角坐标系。此时，我们的射线OA就绕着点O逆时针方向旋转角α，终边位置为OP。我们将P点的坐标设为(x, y)。
师：现在，我们的任务就发生了变化，被抽象为了建立一个函数模型，来刻画点P的坐标变化情况了。那我们想一想，以前我们也经历了建立函数模型的一般路径，我们回顾一下：建立函数模型，首先我们需要从实际问题出发，确定研究背景；其次，分析变量之间的对应关系；如果这个对应关系是函数关系的话，我们给它下一个定义；最后，再来研究函数的相关性质。
师：那现在回到我们的问题。我们已经确定了研究背景：我们想要研究单位圆上点的位置与圆心角之间的关系。那来到第二步，我们要分析变量之间的对应关系。那究竟我们点P的横纵坐标与圆心角α之间具有怎样的关系呢？这对我们来说是一个陌生的问题。那不妨从我们熟悉的角α是锐角开始研究，找一找看。
师：好，哪位同学能来分享一下你的收获？好，你来说。
生：由图我们可以知道角α为锐角。由此我们可以联想到我们初中所学过的锐角三角函数，即sinα等于对边比斜边，所以sinα等于y比1等于y；cosα等于邻边比斜边，所以cosα等于x比1等于x；tanα等于对边比邻边，所以tanα等于y比x。
师：很好，请坐。我们这位同学联想到了初中锐角三角函数的知识，他说得到了这样的三个式子。我们再进一步的来看这组式子：通过这组式子我们发现，点P的纵坐标y就等于sinα，横坐标x就等于cosα。那也就是说，原来点P的坐标是由圆心角α来决定的。
师：我们在发现了这个结论之后，我们想：当α是锐角的时候有这个结论，那当α是直角或者钝角的时候呢？我们不妨来研究一下。你能写出当α等于π/2或者2π/3时，点P的坐标吗？好的，看到同学们写完，谁能来分享一下你的答案呢？好，这位同学，请你来说。
生：先看角α等于π/2的时候，因为那个点P我们由图就可以看到，它的坐标应该是(0,1)。然后当α等于2π/3的时候，我们可以过点P做一条PM垂直于x轴。因为α等于2π/3，所以∠POM应该就等于30度，即π/6。然后，再根据30度所对的直角边等于斜边的一半，所以应该得到PM是1/2，OM是√3/2。但点P在第二象限，横坐标为负，所以点P的坐标应该是(-1/2, √3/2)。
师：好，请坐。当α等于π/2或者是2π/3的时候，我们也求出了点P的坐标。那也就是说，当α等于π/2或2π/3时，点P的坐标也是唯一确定的。那我想问进一步的，如果α是一个任意角呢？它的终边与单位圆的交点P的坐标还能唯一确定吗？
生：能。
师：想一想，说一说，用理论帮老师解释这个问题。好，哪位同学能来说一下？好，你来说。
生：当角α唯一确定的时候，α的终边就唯一确定，终边与单位圆的交点P就确定了，也即P的横纵坐标都是唯一确定的。
师：很好，请坐。老师复述一下：我们这位同学说，当角α唯一确定的时候，α的终边就唯一确定，终边与单位圆的交点P就确定了，也即P的横纵坐标都是唯一确定的。那老师把这句话润色一下，同学们再来听一听：对于任意的一个实数α，都有唯一确定的横坐标x以及唯一确定的纵坐标y与之对应。那这是什么的定义呢？
生：函数的定义。
师：是不是？现在我们就可以下结论说，我的横坐标x、纵坐标y都是关于角α的函数。
师：刚刚同学们用理论帮老师解释了这个问题，现在，老师也想请同学们直观地来感受一下。我们一起来看。好，现在哪位同学想来操作一下？好，你来。
生：（操作演示）现在当α等于0的时候，点P还位于初始位置，坐标是(1,0)。现在我慢慢地拖动α，随着α的变化，我们发现点P的坐标也在随之变化。而如果我在任意的一个位置停止下来，我们发现只要α确定了，点P的横纵坐标都唯一确定了。
师：好，请回。那关于我们点P的坐标与圆心角α之间特殊的函数关系，我们有以下定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P，坐标设为(x, y)。我们说y是圆心角α的正弦函数，记作y=sinα；把点P的横坐标x叫做α的余弦函数，记作x=cosα。由于当α唯一确定的时候，纵坐标y与横坐标x唯一确定，那么它们的比值也是唯一确定的。那么y/x也是关于角α的函数，我们把它叫做正切函数，即y/x=tanα，其中x为分母，不能为0。