师：同学们好！请坐。
师：我们知道，近些年我国的航天事业飞速发展，取得了一系列重大成就。我们先通过一个短片来了解一下。
（播放视频）
“遂古之初，谁传道之？上下未形，何由考之？明明暗暗，惟时何为？阴阳三合，何本何化？……”
“欢迎来到天宫课堂！”
“圆则九重，孰营度之？惟兹何功，孰初作之？天河所踏，十二焉分？日月安属？列星安陈？”
“我把诗写在竹简上，他们把诗写在宇宙中。”
师：天问探火，嫦娥揽月，神舟飞天，羲和逐日……中国航天人一次次探索太空，将屈原写在竹简上的浪漫宇宙照进了现实。而我们航天事业能取得今天的辉煌成就，与万有引力定律的发现密不可分。这节课，我们就一起来学习万有引力定律。
师：开普勒提出行星运动的规律以后，人们就开始思考：行星为什么这样运动呢？上节课我给大家布置了课下作业——查阅资料，了解历史上科学家们对行星运动原因的探索过程。谁来分享一下查阅的情况？来，贾一博，你来吧。
生：通过前一节课的学习，我们知道开普勒提出的实际上是一种规律性的总结。而对于这个运动的原理，许多科学家都提出了自己的见解。开普勒本人认为，行星受到了一种来自太阳、类似磁力的吸引，所以会导致圆周运动。在他之前的伽利略则认为，天上的行星具有惯性——地上的物体因为惯性发生运动，那么天上的行星具有的惯性，也会促使它们绕中心天体做圆周运动。笛卡尔则引入了一种物质叫做“以太”，他认为行星处在以太形成的漩涡之中，自然就会发生圆周运动了。之后的胡克和哈雷两位科学家，引入了“引力”这个概念，他们甚至推导出：在行星运动轨道是圆的情况下，引力的大小与距离的平方成反比。但是由于力和运动的相关概念是由牛顿建立的，他们当时没有这些概念，所以也就无法再继续深入研究下去。而牛顿凭借他对力和运动概念的建立以及超人的数学天赋，在适当的大胆假设之下，最终推导出了我们今天所要学习的万有引力定律。
师：感谢贾一博同学精彩的分享。对于万有引力定律的发现过程，我们知道哥白尼的日心说、第谷的观测数据，包括开普勒提出的行星运动规律，都为万有引力定律的发现奠定了基础。而胡克提出的“引力与距离平方成反比”的观点，对牛顿的思考也有很重要的启发作用。在哈雷的督促和帮助之下，牛顿的传世之作——《自然哲学的数学原理》才得以出版，我们才能看到他在力学上的伟大研究成果。这节课，我们就循着牛顿的足迹，一起来推导万有引力定律的表达式。
师：我们先来看太阳与行星间引力表达式的推导过程。上节课我们知道，行星绕太阳做的运动实际上是什么运动？
生：椭圆。
师：对，是椭圆。但它的半长轴和半短轴近似相等，所以我们后来建立了一个什么模型？
生：匀速圆周运动的模型。
师：做匀速圆周运动的物体是需要向心力的。那么行星做圆周运动，向心力是由谁提供的呢？
生：太阳对行星的引力。
师：对，太阳对行星的引力提供了它做圆周运动的向心力。引力的方向指向哪里？
生：指向太阳。
师：那么它做圆周运动时，向心力的表达式有哪些？我们可以写成哪些形式？
生：F向＝mv²/r。
师：还可以写成什么？
生：mω²r。
师：还有呢？用周期怎么表示？
生：F向＝m·4π²/T²·r。
师：这三个表达式在运动学关系上是不是等价的？我们选择一个表达式去深入分析。大家觉得选哪个呢？在天文学上，哪个量好观测？
生：周期！
师：对，周期好观测。那我们选这个作为下一步深入思考的公式。可我们现在要找的是行星与太阳间的引力表达式，这个式子是不是我们想找的呢？
生：不是。
师：为什么不是呢？李光炫，你说说你的想法。
生：我想，当一个行星静止的时候，它应该也是受到太阳引力的。我们可以做个比喻——在地球上拿一个苹果，我们都知道苹果受重力，把它向前抛出，它会向下有一个竖直向下的加速度，这是重力提供的。而我们把苹果拿在手上让它保持静止，它并没有不受重力，它还是受重力的。所以我觉得，行星静止的时候也受到太阳引力，但此时行星没有周期，所以这个表达式并不适用。
师：也就是说，你觉得引力跟周期应该是没有关系的，对吗？
生：对，它不运动，这个力也会存在。
师：好。既然这个表达式与周期无关，不是我们想寻找的表达式，那我们怎么把周期消掉呢？
生：开普勒第三定律。
师：大家都想到了开普勒第三定律。它的表达式是什么？
生：a³/T²＝k。
师：a是什么？
生：半长轴。
师：在我们现在的模型中，简化成了半长轴，所以我们写成r³/T²＝k。代入消元之后，我们得到的结果是什么？来，大家一起说吧。
生：F＝4π²k·m/r²。
师：很好，我们把周期T消掉后得到了这个结果，里面出现了一个常数k。这个常数k跟谁有关？
生：中心天体。
师：对，是与中心天体有关的常量。那这个表达式是不是我们最终要找的引力表达式呢？
生：不是。
师：为什么不是？
生：中心天体换了，k值就变了。
师：对！你换一个中心天体，这个表达式就不一样了，k值也会发生变化。那我们怎么体现出中心天体的量呢？我们学过了牛顿第三定律。刚才推出的表达式是太阳对行星的引力，那太阳吸引行星，行星吸引太阳吗？
生：吸引。
师：行星吸引太阳的力和这个力有什么关系？
生：等大反向。
师：对，这是一对相互作用力。既然太阳对行星的力得到了F∝m/r²的规律，而行星也吸引太阳，这两个力性质肯定是一样的。从相互作用的角度看，行星和太阳的地位完全平等。那么行星对太阳的引力表达式，是不是也应该有类似的规律？这是牛顿当时的一个大胆假设——他认为行星对太阳的作用力也与太阳的质量成正比，与距离的平方成反比。这两个力大小相等，我们要把它们描述在一个表达式中。那么，这个力跟质量的乘积有关，还是跟质量的和有关呢？大家可以讨论一下。
（小组讨论）
师：我看同学们都有结论了。哪个小组来说说你们的结果和分析过程？来，王子涵你们小组。
生：我们组讨论的结果是跟质量的乘积有关。我们可以用控制变量法来想：如果行星的质量不变，太阳的质量变为原来的3倍，根据我们推得的正比关系，力也应该变成原来的3倍。而如果是加和或者差的形式，就不会有这个3倍的关系，乘积刚好能符合。
师：非常好！也就是说，我们最终得到的太阳与行星间的引力，应该正比于太阳和行星质量的乘积，与它们距离的平方成反比。但我们更想得到的是什么？
生：等式。
师：对，要写成等式就要加上比例系数。我们把这个比例系数记为大G，这个G跟太阳和行星的质量无关。回顾一下，刚才得到引力表达式的过程，前面阶段都是逻辑推理。只有逻辑推理，我们能得到最后结果吗？