师：上课，同学们好。
生：老师好。
师：前面我们学习了有理数的加减、乘除、乘方运算，知道加法和减法互为逆运算，乘法和除法也互为逆运算。那么乘方有逆运算吗？这节课就让我们带着这个问题开始学习。现在我们先来回顾天问一号发射的情况。当天问一号的速度大于第二宇宙速度v时，它就会克服地球引力飞向火星。v的大小满足v平方等于2GR，已知g和r的数值，请同学们思考怎样求出v呢？好，请你说。
生：我们先算出2GR的值是多少，然后就可以根据这个值算出v等于多少。
师：思路是正确的，请坐。那我们按照这位同学的思路，把数值代入，算出v平方约等于12544万。请同学们观察这个算式，在这个算式中，已知什么，求什么呢？
生：已知v的平方，求v的值。
师：是的，那我们原先学过这一种运算吗？
生：没有。
师：确实，我们以前学过的是已知一个数，然后通过平方运算求出这个数的平方；现在反过来，已知一个数的平方，求这个数，那怎么求呢？这就需要用到本节课平方根的知识。为了解决这个问题，我们先从一个比较简单的例子开始。如果一个数的平方等于9，那么这个数会是多少呢？
生：3。
师：除了3，还有哪个数的平方也等于9呢？
生：-3。
师：那除了3和-3以外，还有哪个数的平方会等于9吗？
生：没有。
师：由此可知，如果一个数的平方等于9，那么这个数就是3或-3。我们通常把3和-3合在一起，简记为正负3。现在请同学们思考，如果x平方变成了以下这些数值时，请大家找出对应的x的值，请大家在草稿纸上填写。这是一位同学的填法，大家和他填的一样吗？有不一样的同学请上来写一下。这位男生，请回。大家看，哪位同学的答案是正确的？
生：第二位。
师：是的，虽然第一位同学的答案不够完美，但是它很有价值，它提醒我们思考问题的时候要全面。现在请填错的同学更正。大家想一想，再认真地观察这一个表格，请同学们认真观察这一个表格，思考第二行中的数有什么共同特点，第二行中的数与第一行中对应的数又有什么关系？请同学们先独立思考，有了想法的同学可以和小组成员互相交流。
师：好，同学们的讨论声越来越小了，想必都有答案了。那哪位同学来分享一下小组讨论的结果？请你说。
生：我们小组讨论发现，当x的平方所代表的数不同时，第二行的x都会代表两个数。问题2中，第2行我们发现第一行的数都是第2行的数的平方，这是我们小组的发现。
师：好的，请坐。还有其他小组补充吗？好，请你说。
生：我们小组还发现第二行的x的两个数，它们都互为相反数。
师：是的，请坐。把两个小组的发现综合在一起就可以了。那现在如果我们用a来表示第一行中的数，请同学们想一想，此时x和a有什么关系呢？哪位同学来说？请你说。
生：x的平方等于a。
师：概括很准确，请坐。此时我们就把x叫做a的平方根。一般的，如果一个数x的平方等于a，那么这个数x就叫做a的平方根。在前面的学习中，我们知道平方也叫做二次方，所以平方根也叫做二次方根。例如因为正负3的平方等于9，所以正负3叫做9的平方根，也可以说9的平方根是正负3。同学们还能举出其他例子吗？哪位同学来试一试？来，请你。
生：正负4等于16。
师：嗯，正负5等于25，所以呢？
生：回答完毕。
师：好的，请坐。哪位同学来帮他完善一下？好，同桌。
生：所以正负4是16的平方根，也可以说16的平方根是正负4。正负5叫做25的平方根，也可以说25的平方根是正负5。
师：好的，你的补充很完整，请坐。刚才同学们举例说明了什么是平方根，现在请大家想一想，1的平方根是1吗？请你说，后面这个男生。
生：1的平方根不只是一，因为-1的平方也等于一。
师：嗯，所以1的平方根是多少？
生：1的平方根是1或-1。
师：是的，你考虑得很全面。再看第2题，请你说。
生：这道题是对的，因为0.5的平方等于0.25，另0.25的另外一个平方根是-0.5。
师：是的，请坐。他的回答完全正确。那现在请大家观察这里的一还有0.25，这些是我们学过的什么数呢？
生：正数。
师：对，那这些正数它的平方根有什么特点吗？请你说。
生：这些正数都有两个平方根。
师：嗯，还有补充吗？
生：而且它的两个平方根互为相反数。
师：是的，你思考得很全面，请坐。那这样我们就得出了这样的一个结论：正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数。再看第3题，请你说。
生：这句话是对的，因为0的平方等于0，所以0是0的一个平方根。
师：你的表达很流畅，请坐。那由这里我们就发现0，它的平方根是多少呢？
生：0。
师：对。再看第4题，请你说。
生：应该是错的，为什么呢？因为他写法嘛，应该说是49的平方根是正负7。
师：为什么49的平方根会是正负7？
生：因为7的平方等于49，负7的平方也等于49。
师：是的，你的思路很清晰，请坐。这里大家一定要注意，分清楚哪个数是哪个数的平方根。接下来看一下第5题，好，这位男生。
生：我认为这道题是错的，为什么呢？因为结合我们之前学过的知识，一个数的平方等于两个相同的数相乘，这个数相乘自己的本身，所以它们的平方都是正数，所以我认为这个-49的平方根是-7，这个说法是错误的。
师：好的，请坐。还有同学要补充吗？好，你说。
生：刚刚那个同学他说的也是对的，因为我们知道同号得正，异号得负，平方的意义就是两个相同的数相乘，说明它们同号，结果一定是正数。那么他这题目说-49的平方根是-7，-49是负数，我们知道负数它不可能是两个相同的数相乘的结果，所以这一题它的错误就在于没有正确地阐明平方这个数的正负数性质，我的回答完毕。
师：好的，请坐。那其实刚才两位同学的判断都是正确的，这里的话要注意一个表述，就是刚才有个同学说两个数乘，就相同的两个数相乘，结果一定是正的，这个位置大家认为有问题吗？
生：有。
师：有什么问题？
生：0的0次方是0。
师：对我们刚刚说了0的平方是0，那0也不是正数对不对？
生：对。
师：所以这个地方我们表述的时候要准确一些。好，再看第6题，大家一起说吧。
生：错的。
师：哦，这是错的，那为什么错了呢？
生：因为负数没有平方根。
师：对，负数没有平方根。这样我们就总结得出了平方根的特点。像刚才那样，求一个数的平方根的运算叫做开平方。我国古代开方术成就卓著，核心突破领先世界，主要体现在《九章算术》系统地建立了开平方数的算筹算法框架；到了魏晋时期，刘徽创微数法，以十进小数逼近无理数，领先欧洲近千年；宋元时期，贾宪和秦九韶共著高次方程的解法，领先霍纳法600年。看到这里，同学们有什么感受吗？请你说。
生：我为国家数学上的成就感到自豪和骄傲。
师：好的，请坐。还有同学？好，你也来说一说。
生：我感受到了我国古人的智慧。
师：嗯，请坐。还有同学也分享一下吗？请你说。
生：我感受到了我国古代的数学就已经是领先于世界的，所以我们也应该传承它。
师：好的，你感触很深。是的，这份源自祖先的智慧和骄傲，现在传递到了我们手中，那么最好的传承就是真正理解、掌握并应用它。现在让我们带着这份自豪，一起来探索平方与开平方这两种运算之间的关系。接下来我们一起来玩一个寻找运算好朋友的游戏，请看游戏规则：第一点，请同学们为蓝色数字卡找到能配对的红色数字卡，结成数字好友；第二点和同桌讨论，你们结成的好友之间是通过什么运算互相转化的。现在请同学们拿出卡片开始吧。