师：老师刚来到这个学校的时候，刚走进学校的大门，这个学校的一座座教学楼的屋顶就引起了老师的注意。先来欣赏一下咱们美丽的校园风光。老师从这个角度拍摄了一张照片，发现这个屋檐从这个角度看起来特别像咱们数学里的一个符号。那它是一个什么样的符号呢？
生：根号。
师：那什么是根号啊？这节课我们就来开启我们的探索之旅。好，请同学们拿出手中的学案，拿出直尺，帮老师看看这个问题该如何解决。请你在网格中画出边长为2的正方形。画好了吗？
生：好了。
师：请问这个边长为2的正方形，它的面积是多少？
生：4。
师：你是如何得到这个结果的？
生：边长乘边长，也就是2乘2。
师：2乘2其实还可以写作2的平方。那其实解决这个问题，咱们相当于解决了2的平方等于4等于几的问题，是不是？那么如果边长为3呢？
生：3的平方。
师：3的平方等于几？
生：9。
师：我们要解决边长为3的正方形的面积，相当于要解决3的平方等于几。
生：九。
师：那么如果边长为a呢？
生：a的平方等于4。
师：要解决a的平方的问题。大家来看一下，这些式子是我们之前所学习过的什么运算？
生：乘方。
师：什么运算？
生：乘方运算。
师：乘方运算可以表示成a的n次方。这里的a指的是乘方运算中的什么？
生：底数。
师：非常好。这里的呢？
生：指数。
师：乘方运算的结果，我们把它叫做什么？
生：幂。
师：那么当指数为2时，我们也称乘方运算为--
生：平方。
师：平方运算，没有问题吧？
生：没有。
师：那咱来看这个问题。请你在网格中画出面积为9的正方形，在第二个网格中尝试着画一下。都画好了吗？
生：画好了。
师：谁能告诉老师你是如何画的？来，你来讲。
生：因为它的面积为9，所以可以得出，假设它的边长为a，那a的平方就等于9，可以得出a等于3，所以是以边长为3的正方形画。
师：很好，回答非常棒吧。那就说明我们要想把这个正方形画出来，首先要解决一个问题--边长。它的边长是多少？那我要解决它的边长是多少，我就要解决一个问题，就是找到谁的平方等于9。
生：平方等于9。
师：那如果我要画出一个面积为16的正方形呢？谁的平方等于16的问题，对吧？好，那么请你尝试着在这个网格纸中画出一个面积为2的正方形。好好看，看到有些同学好像遇到了困难，给你们互相交流交流好不好？互相帮助一下。
生：不用那么麻烦，想想办法，我们可以利用勾股定理。勾股定理就是说，这边利用这个是直角，然后这边边长为一，这边边长为一，那就是说一的平方加上一的平方刚好是2的平方，那就是说这个斜边的平方刚好就是2。这个面积是一，这个面积是一，所以它的斜边所在的，以斜边为边长画出来这个正方形，它面积就是2。
师：好啦同学们，能画出来吗？
生：能。
师：能画出来，画出来的举手我看一下。好，给大家展示一下。来看一下这位同学画出的图像，这个正方形面积为2吗？是不是2？
生：是。
师：是2，说明这个正方形是存在的，对吗？那么它的边长又是多少呢？那我们要想解决这个问题，要列出一个什么样的式子呢？要想找到面积为2的正方形的边长，我们相当于要解决一个什么问题呢？
生：谁的平方等于2。
师：好的，请坐。谁的平方等于2？那谁的平方等于2呢？好像暂时无法解决这个问题。那么我们来观察一下，左边的这个式子是我们熟悉的平方运算，那么平方运算它是已知了什么和什么，求谁？
生：已知了底数和指数，求幂。
师：那么右边这个式子，它又是已知了什么和什么，求什么呢？
生：已知了幂和指数，求底数。
师：好，请坐。大家来观察，左边这个式子的已知和要求的，和右边这个式子的已知和要求的，刚好是--
生：相反的。
师：反过来的是吗？那反过来在咱们数学中，可以把它称作什么？
生：相反。
师：相反，我们可以把它叫做--
生：互逆。
师：那就是说，对于这些式子的运算，其实和平方运算应该是一个刚好相反的运算，也就是互逆的运算。那么如果这些式子是我们学过的平方运算的话，那么这个和平方运算互逆的运算，我们可以把它叫做开平方运算。那么开平方运算，它的结果你能求出来吗？再看第一个式子，谁的平方等于9？
生：3。
师：3的平方。如果咱们抛开了刚刚那个正方形的面积这个背景的话，单纯地看这个式子，谁的平方等于9？
生：正负3。
师：正负3。为什么是正负？
生：因为我们想一下，因为我们要想谁的平方等于9，那就说只有3的平方是等于9，还有负3的平方是等于9的，那这个问号就可以看成正负3。
师：很好。你说慢一点。
生：因为3的平方是等于9的，负3的平方等于9，所以正负3的平方等于9，所以这里的问号就是等于正负3的。
师：说得很好吧。孩子，咱们是不是应该鼓励一下他？很好啊，很好。那对于这个式子，你能用同样的方法把这里的问号给老师算出来吗？
生：可以。
师：来，动手写一下。好的，有人给大家展示一下你的结果吗？你是怎么想的？问号是几呢？
生：因为4的平方等于16，负4的平方等于16，所以问号等于正负4。
师：很好，请坐。显然开平方运算的结果，咱们是可以算出来的，对吗？那么如果说平方运算的结果叫做幂的话，那么开平方运算算出来的结果，是不是应该也有一个名字呢？咱们可以把它叫做这节课要学习的--平方根。所以说开平方运算计算出的结果是平方根。那就说明这里的正负3是9的平方根。16的平方根是多少？
生：正负4。
师：为什么16的平方根是正负4？为什么？
生：因为4的平方等于16，负4的平方等于16，所以正负4是16的平方根。
师：哎，说得很好。那么你能再举几个例子吗？谁是谁的平方根？或者你们同桌之间先互相说一说，好不好？
生：正负根号3。
师：好，举例子，谁能请你举个例子，展示一下你俩的成果吧。来，这个女孩子。
生：正负7是49的平方根。
师：很好呀，请坐。还有没有？来，你说。
生：正负11是121的平方根。
师：为什么？
生：因为11的平方等于121，负11的平方等于121，所以正负11是121的平方根。
师：非常好。还有没有其他同学要说的？好的，安奈你说。
生：正负15的平方等于225，所以225的平方根是正负15。
师：好的，请坐。那么咱们举了很多的例子，都能找到一个数的平方根了。那么你能总结一下平方根的定义吗？一个什么样的数就可以被称作这个数的平方根呢？回想一下咱们刚刚寻找平方根的过程。
生：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根。
师：好的，认同他的观点吗？
生：认同。
师：还有没有同学能给大家解释一下什么是平方根？
生：如果x的平方等于a，则x是a的平方根。
师：好，请坐。同学们认同他的观点吗？
生：认同。
师：认同是吗？好，那么平方在咱们数学里面还可以把它叫做二次方根，所以这里的平方根我们也可以把它叫做二次方根。现在咱们知道如何去寻找一个数的平方根了，那么我想问一下，这里的x有可能会出现几个值？
生：两个。
师：两个值。咱们通过刚刚的求解发现，9和16的平方根，一个是正3，一个是正4。像刚刚那个同学说的一样，它俩正好是互为相反数的，所以这里的x有可能对应着两个值，对吗？
生：对。
师：现在咱们再来看这个问题。这个式子里的问号是咱们要找的什么呢？
生：2的平方根。
师：找的是谁？
生：2的平方根。
师：那2的平方根是多少呢？它的平方根又应该怎么去表示它呢？首先存不存在这样的一个数，它的平方等于2？
生：存在。
师：存在。怎么存在呢？它就是什么？咱们刚刚画出的这个正方形，这个正方形的什么呀？